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Question Number 70595 by mathmax by abdo last updated on 06/Oct/19

calculate Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+1)^3 ))

$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 08/Oct/19

let S =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 (n+1)^3 )) let decompose F(x)=(1/(x^2 (x+1)^3 )) F(x)=(a/x)+(b/x^2 ) +(c/(x+1)) +(d/((x+1)^2 )) +(e/((x+1)^3 )) b=1 and e=1 ⇒F(x)=(a/x) +(1/x^2 ) +(c/(x+1)) +(d/((x+1)^2 )) +(1/((x+1)^3 )) lim_(x→+∞) xF(x)=0=a+c ⇒c=−a ⇒ F(x)=(a/x)+(1/x^2 )−(a/(x+1)) +(d/((x+1)^2 )) +(1/((x+1)^3 )) F(1)=(1/8) =a+1−(a/2) +(d/4) +(1/8) ⇒(a/2) +(d/4)=−1 ⇒2a+d=−4 F(−2)=−(1/4) =−(a/2) +(1/4) +a +d −1 ⇒ −1=−2a+1 +4a+4d−4 ⇒−1=2a+4d−3 ⇒2a+4d=2 ⇒ a+2d=1 ⇒a=1−2d ⇒2(1−2d)+d=−4 ⇒2−3d=−4 ⇒ −3d=−6 ⇒d=2 ⇒a=1−4=−3 ⇒ F(x)=−(3/x) +(1/x^2 ) +(3/(x+1)) +(2/((x+1)^2 )) +(1/((x+1)^3 )) ⇒ S=Σ_(n=1) ^∞ (−1)^n F(n)=−3Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) +3 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^3 )) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) =−ln(2) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =(2^(1−2) −1)ξ(2)=−(1/2)(π^2 /6) =−(π^2 /(12)) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)−1=ln(2)−1 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^3 )) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^3 ) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^3 ) −1 =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^3 )−1 =−(2^(1−3) −1)ξ(3)−1 =−((1/4)−1)ξ(3)−1 =(3/4)ξ(3)−1 ⇒ S =3ln(2)−(π^2 /(12)) +3ln(2)−3 +(3/4)ξ(3)−1 S =6ln(2)+(3/4)ξ(3)−4−(π^2 /(12)) .

$${let}\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:{let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${b}=\mathrm{1}\:\:{and}\:{e}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\:\:{xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}={a}+{c}\:\Rightarrow{c}=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:={a}+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+{d}=−\mathrm{4} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+{a}\:+{d}\:−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{1}=−\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\:+\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{d}−\mathrm{4}\:\Rightarrow−\mathrm{1}=\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{d}−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{d}=\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$${a}+\mathrm{2}{d}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}−\mathrm{2}{d}\:\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{d}\right)+{d}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{2}−\mathrm{3}{d}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{3}{d}=−\mathrm{6}\:\Rightarrow{d}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}−\mathrm{4}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {F}\left({n}\right)=−\mathrm{3}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{3}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}−\mathrm{1}={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:−\mathrm{1} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${S}\:=\mathrm{6}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{4}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:. \\ $$

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