Question Number 71206 by naka3546 last updated on 13/Oct/19 | ||
$${Let}\:\:{p},{q},{r}\:\:{are}\:\:{positive}\:\:{real}\:\:{numbers}\:. \\ $$ $$\mathrm{0}\:<\:{r}\:<\:{min}\left\{{p},{q}\right\}. \\ $$ $${Prove}\:\:{that} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\sqrt{{p}−{r}}\:+\:\sqrt{{q}−{r}}\:\:\leqslant\:\:{min}\left\{\sqrt{\frac{{pq}}{{r}}}\:,\:\sqrt{\mathrm{2}\left({p}+{q}\:−\:\mathrm{2}{r}\right)}\:\right\} \\ $$ | ||
Answered by mind is power last updated on 13/Oct/19 | ||
$$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{r}\:}+\sqrt{\mathrm{q}−\mathrm{r}\:}=\leqslant\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}−\mathrm{2r}\right)} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}\leqslant\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{2y}} \\ $$ $$\mathrm{cause}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{xy}}=\left(\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{xy}}\leqslant\mathrm{2x}+\mathrm{2y} \\ $$ $$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{p}−\mathrm{r}\:\mathrm{y}=\mathrm{q}−\mathrm{r} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{r}}+\sqrt{\mathrm{q}−\mathrm{r}}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}−\mathrm{2r}\right)}....\mathrm{1} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{r}}+\sqrt{\mathrm{q}−\mathrm{r}}\leqslant\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{\mathrm{r}}} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{r}}+\sqrt{\mathrm{q}−\mathrm{r}}=\sqrt{\mathrm{r}}\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{r}}\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{1}}\leqslant\sqrt{\mathrm{xy}\:\:} \\ $$ $$\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)}\leqslant\mathrm{xy} \\ $$ $$\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)}\leqslant\mathrm{xy}−\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0}\:\:\mathrm{True} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}},\mathrm{y}=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}\Rightarrow \\ $$ $$\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}}\leqslant\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{\mathrm{r}^{\mathrm{2}} }} \\ $$ $$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{r}}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}−\mathrm{1}}\right)\leqslant\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{\mathrm{r}}}...\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{2\&1}\Rightarrow \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{r}}+\sqrt{\mathrm{q}−\mathrm{r}}\leqslant\mathrm{min}\left\{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{\mathrm{r}}},\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}−\mathrm{2r}\right)}\right\} \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ | ||