Question Number 71534 by mr W last updated on 16/Oct/19
$${a}\:{number}\:{consists}\:{of}\:{digits}\:\mathrm{1}\:{and}\:\mathrm{2}. \\ $$$${the}\:{sum}\:{of}\:{its}\:{digits}\:{is}\:\mathrm{2018}. \\ $$$${if}\:{the}\:{number}\:{is}\:{multiplied}\:{with}\:\mathrm{5},\: \\ $$$${the}\:{sum}\:{of}\:{the}\:{digits}\:{will}\:{be}\:\mathrm{10000}. \\ $$$${find}\:{how}\:{many}\:{digits}\:{this}\:{number} \\ $$$${has}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Oct/19
$${Let}\:\mathrm{1}\:{comes}\:\:{x}\:{times}\:\&\:\mathrm{2}\:\:{y}\:{times}\:{in} \\ $$$${the}\:{number}. \\ $$$${The}\:{sum}\:{of}\:{the}\:{digits}=\mathrm{2018} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}+\mathrm{2}{y}=\mathrm{2018}........................{A} \\ $$$${The}\:{number}\:{will}\:{equal}: \\ $$$$\mathrm{1}\left(\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{1}} } +\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{2}} } +...+\mathrm{10}^{{u}_{{x}} } \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2}\left(\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{1}} } +\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{2}} } +...+\mathrm{10}^{{v}_{{y}} } \right) \\ $$$$\mathrm{5}\:{times}\:{the}\:{number}: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{5}\left(\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{1}} } +\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{2}} } +...+\mathrm{10}^{{u}_{{x}} } \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{10}\left(\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{1}} } +\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{2}} } +...+\mathrm{10}^{{v}_{{y}} } \right) \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{5}\left(\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{1}} } +\mathrm{10}^{{u}_{\mathrm{2}} } +...+\mathrm{10}^{{u}_{{x}} } \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{1}\left(\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}} +\mathrm{10}^{{v}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} +...+\mathrm{10}^{{v}_{{y}} +\mathrm{1}} \right) \\ $$$${The}\:{sum}\:{of}\:{the}\:{digits}\:{now}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}{x}+{y}=\mathrm{10000}...................{B} \\ $$$${From}\:{A}\:\&\:{B}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{1998}\:\&\:\:{y}=\mathrm{10} \\ $$$$\therefore\:\:\:\:{The}\:{number}\:{of}\:{digits}\:{in}\:{the}\:{number} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={x}+{y}=\mathrm{1998}+\mathrm{10}=\mathrm{2008} \\ $$
Commented by mr W last updated on 17/Oct/19
$${thanks}! \\ $$
Answered by MJS last updated on 17/Oct/19
$${m}+\mathrm{2}{n}=\mathrm{2018}\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{1}×\mathrm{5}=\mathrm{5}\:\:\mathrm{2}×\mathrm{5}=\mathrm{10}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{5}{m}+{n}=\mathrm{10000}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:{m}=\mathrm{1998}\:\wedge\:{n}=\mathrm{10} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{it}\:\mathrm{has}\:\mathrm{2008}\:\mathrm{digits} \\ $$
Commented by mr W last updated on 17/Oct/19
$${thanks}! \\ $$