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Question Number 71799 by mind is power last updated on 20/Oct/19

Answered by mind is power last updated on 20/Oct/19

$$\mathrm{posted}\mathrm{Quation}\mathrm{two}\mathrm{weeks}\mathrm{Ago}-\mathrm{nice}\mathrm{one}$$

Answered by mind is power last updated on 20/Oct/19

$$({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2)\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}$$$$=\sqrt{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1)({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1)}(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1})+\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}$$$$=(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}).(\sqrt{({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1)}-1)$$$$=\frac{(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1})(\mathrm{x}({9\mathrm{x}}^3+{12\mathrm{x}}^2+13\mathrm{x}+4)}{\left(\sqrt{({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1)+}1\right)}$$$$\Rightarrow \frac{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2)\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}{\mathrm{x}({9\mathrm{x}}^3+{12\mathrm{x}}^2+13\mathrm{x}+4)}=\frac{-\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1+}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}{(1+\sqrt{({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1})\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)}$$$$\Rightarrow \mathrm{arctg}\left(\frac{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2)\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}-({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}{\mathrm{x}({9\mathrm{x}}^3+{12\mathrm{x}}^2+13\mathrm{x}+4)}\right)=\mathrm{arctg}\left(\frac{-\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1+}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}{(1+\sqrt{({9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1})\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)}\right)$$$$=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)-\mathrm{arctg}(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1)}$$$$\Rightarrow {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{arctg}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)-\mathrm{arctg}(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}}{\mathrm{x}}$$$$\mathrm{let}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)$$$$\Rightarrow {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{arctg}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)-\mathrm{arctg}(\sqrt{{9\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}}{\mathrm{x}}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{f}\left(1\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}$$$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{ax}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{bx}\right)}{\mathrm{x}}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{tx}\right)\mathrm{dtdx}={\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}\left({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{tx}\right)\mathrm{dx}\right)\mathrm{dt}$$$$={\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}{\left[\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{tx}\right)}{\mathrm{t}}\right]}_0^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{dt}=(\mathrm{g}\left(\mathrm{\infty }\right)-\mathrm{g}\left(0\right)).{\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}=(\mathrm{g}\left(\mathrm{\infty }\right)-\mathrm{g}\left(0\right))\ln \left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)$$$$\mathrm{applie}\mathrm{this}\mathrm{gor}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\tan }^{-1}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)$$$$\mathrm{f}\left(0\right)=\frac{\pi }{4},\lim \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi }{2}$$$$$$$$\Rightarrow {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{f}\left(1\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}).\ln \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi \ln \left(3\right)}{4}$$$$$$$$$$$$$$

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