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Question Number 71960 by TawaTawa last updated on 22/Oct/19

Answered by mind is power last updated on 22/Oct/19

Σ((1+a)/(1−a))=Σ(−1+(2/(1−a)))=Σ−1+Σ(2/(1−a)) ((p′(x))/(p(x)))=Σ_(a∈Root(p)) (1/(x−a)) ⇒Σ_(i=1) ^3 (1/(1−x_i ))=((p′(1))/(p(1)))=((3−1)/(−1))=−2 ⇒Σ_ ((1+a)/(1−a))=−2.2+Σ−1=−4−3=−7 2nd Solution just ((1+a)/(1−a))+((1+b)/(1−b))+((1+c)/(1−c))=(((1+a)(1−b)(1−c)+(1+b)(1−a)(1−c)+(1+c)(1−a)(1−b))/((1−b)(1−c)(1−a))) x^3 −x−1=(x−a)(x−b)(x−c)⇒(1−a)(1−b)(1−c)=1−1−1=−1 (1+a)(1−b)(1−c)=1+(a−b−c)−ab−ac+bc+abc (1+b)(1−a)(1−c)=1+(b−a−c)+ac−ab−bc+abc (1+c)(1−a)(1−b)=1+(c−a−b)+ab−ac−bc+abc (((1+a)(1−b)(1−c)+(1+b)(1−a)(1−c)+(1+c)(1−a)(1−b))/((1−b)(1−c)(1−a))) =((3−(a+b+c)−ab−ac−ac+3abc)/(−1)) a+b+c=0 ab+ac+cb=−1 abc=1 =((3−(a+b+c)−ab−ac−ac+3abc)/(−1))=((3−0+1+3)/(−1))=−7

$$\Sigma\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}=\Sigma\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\right)=\Sigma−\mathrm{1}+\Sigma\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}} \\ $$$$\frac{\mathrm{p}'\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)}=\underset{\mathrm{a}\in\mathrm{Root}\left(\mathrm{p}\right)} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}_{\mathrm{i}} }=\frac{\mathrm{p}'\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{p}\left(\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{−\mathrm{1}}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\underset{} {\sum}\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}=−\mathrm{2}.\mathrm{2}+\Sigma−\mathrm{1}=−\mathrm{4}−\mathrm{3}=−\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{2nd}\:\mathrm{Solution}\:\mathrm{just}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{c}}{\mathrm{1}−\mathrm{c}}=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{1}=−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)=\mathrm{1}+\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)−\mathrm{ab}−\mathrm{ac}+\mathrm{bc}+\mathrm{abc} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)=\mathrm{1}+\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{ac}−\mathrm{ab}−\mathrm{bc}+\mathrm{abc} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{1}+\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{ab}−\mathrm{ac}−\mathrm{bc}+\mathrm{abc} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)−\mathrm{ab}−\mathrm{ac}−\mathrm{ac}+\mathrm{3abc}}{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{cb}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{abc}=\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)−\mathrm{ab}−\mathrm{ac}−\mathrm{ac}+\mathrm{3abc}}{−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{3}}{−\mathrm{1}}=−\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by TawaTawa last updated on 22/Oct/19

God bless you sir, thanks for your time

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir},\:\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time} \\ $$

Commented by TawaTawa last updated on 22/Oct/19

Sir is the answer − (7/3) ???. That is what they got here.

$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\:\:−\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:???.\:\:\:\mathrm{That}\:\mathrm{is}\:\mathrm{what}\:\mathrm{they}\:\mathrm{got}\:\mathrm{here}. \\ $$

Commented by mind is power last updated on 22/Oct/19

no −7

$$\mathrm{no}\:−\mathrm{7}\: \\ $$

Commented by TawaTawa last updated on 22/Oct/19

Ok, God bless you sir. I appreciate your time

$$\mathrm{Ok},\:\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time} \\ $$

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