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Question Number 72289 by mathocean1 last updated on 27/Oct/19

Bonjour. Aidez moi a resoudre le systeme suivant dans R^2 x−y=2 xy=20

$${Bonjour}. \\ $$$${Aidez}\:{moi}\:{a}\:{resoudre}\:{le}\:{systeme}\: \\ $$$${suivant}\:\:\:\:{dans}\:\mathbb{R}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\: \\ $$$${x}−{y}=\mathrm{2} \\ $$$${xy}=\mathrm{20} \\ $$

Answered by mr W last updated on 27/Oct/19

x=2+y (2+y)y=20 y^2 +2y−20=0 y=((−2±(√(2^2 −4(−20))))/2)=((−2±2(√(21)))/2)=−1±(√(21)) x=2+y=1±(√(21))

$${x}=\mathrm{2}+{y} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+{y}\right){y}=\mathrm{20} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}−\mathrm{20}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\frac{−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(−\mathrm{20}\right)}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{2}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$$${x}=\mathrm{2}+{y}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$

Answered by Henri Boucatchou last updated on 27/Oct/19

poser z = −y on a { (( x+z = 2)),(( xz = −20)) :} ⇒ x et z sont solutions de x^2 − 2x −20 = 0 soit (x−1)^2 −1−20 = (x−1+ (√(21)))(x−1−(√(21)))=0 x=1−(√(21)) ⇒ z =−y = 1+(√(21)) ⇒ y = −1−(√(21)) x=1+(√(21)) ⇒ z = −y= 1−(√(21)) ⇒ y=−+(√(21))

$$\boldsymbol{{poser}}\:\:\boldsymbol{{z}}\:=\:−\boldsymbol{{y}} \\ $$$$\boldsymbol{{on}}\:\:\boldsymbol{{a}}\:\:\begin{cases}{\:\boldsymbol{{x}}+\boldsymbol{{z}}\:=\:\mathrm{2}}\\{\:\boldsymbol{{xz}}\:=\:−\mathrm{20}}\end{cases}\:\:\Rightarrow\:\:{x}\:\:\boldsymbol{{et}}\:\boldsymbol{{z}}\:\boldsymbol{{sont}}\:\:\boldsymbol{{solutions}}\:\:\boldsymbol{{de}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\mathrm{20}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\boldsymbol{{soit}}\:\:\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{20}\:=\:\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}+\:\sqrt{\mathrm{21}}\right)\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{z}}\:=−\boldsymbol{{y}}\:=\:\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{y}}\:=\:−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$$$\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{z}}\:=\:−\boldsymbol{{y}}=\:\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\Rightarrow\:\:\boldsymbol{{y}}=−+\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$

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