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Question Number 72608 by aliesam last updated on 30/Oct/19

Answered by mind is power last updated on 30/Oct/19

s(x)=n⇒x∈[10^(n−1) ,10^n [ s(y)=m⇒y∈[10^(m−1) ,10^m [ s(z)=p⇒z∈[10^(p−1) ,10^p [ 1&3⇒s(z)=y−x−4≥0⇒y≥x+4⇒n≥m 1&3&2⇒z=2y−4≥0,y≥5 ⇒p≥m 2.y−4≤2.10^m −4<10^(m+1) ⇒p≤m+1 ⇒p∈{m,m+1} p=m⇒s(x)+2s(y)=y−4 s(x)+2s(y)=y−4 s(x)≤s(y)⇒y−4≤3s(y) ⇒10^(m−1) −4≤3m⇒m∈{1,2} m=1 s(x)=x−1 x+y=z−1 s(x)=y−6≥1⇒y≥7 z=2y−4⇒z≥10 but s(z)=1 no solution m=2⇒s(x)=y−8 x+y+2=z=2y−4⇒x=y−2 s(x)+2=x s(x)−x=−2⇒(y−8)−(y−2)=−2⇒−6=−2 no solution ⇒p=m+1 ⇒s(x)+2s(y)+1=y−4≤3s(y)+1 ⇒10^(m−1) −4≤3m+1⇒10^(m−1) ≤3m+5⇒m∈{1,2}m=1 s(x)≤s(y)⇒s(x)=1 m=1⇒s(x)+3=y−4 ⇒y=8 x=2 z=2+8+2=12 (x,y,z)={(2,8,12)} m=2 s(x)≤2 ⇒s(x)+5=y−4⇒s(x)=y−9≤2⇒y≤11 y∈{10,11} s(z)=3⇒ z=2y−4≥100 absurd ⇒{(x,y,z)}={(2,8,12)}

$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{n}\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{10}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} ,\mathrm{10}^{\mathrm{n}} \left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{m}\Rightarrow\mathrm{y}\in\left[\mathrm{10}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} ,\mathrm{10}^{\mathrm{m}} \left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{p}\Rightarrow\mathrm{z}\in\left[\mathrm{10}^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} ,\mathrm{10}^{\mathrm{p}} \left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{1\&3}\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}\geqslant\mathrm{x}+\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{n}\geqslant\mathrm{m} \\ $$$$\mathrm{1\&3\&2}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2y}−\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0},\mathrm{y}\geqslant\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{p}\geqslant\mathrm{m} \\ $$$$\:\mathrm{2}.\mathrm{y}−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{2}.\mathrm{10}^{\mathrm{m}} −\mathrm{4}<\mathrm{10}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{p}\leqslant\mathrm{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\in\left\{\mathrm{m},\mathrm{m}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{p}=\mathrm{m}\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2s}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2s}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{s}\left(\mathrm{y}\right)\Rightarrow\mathrm{y}−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{3s}\left(\mathrm{y}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{10}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} −\mathrm{4}\leqslant\mathrm{3m}\Rightarrow\mathrm{m}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2}\right\} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{z}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{6}\geqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}\geqslant\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{2y}−\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{z}\geqslant\mathrm{10}\:\mathrm{but}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{1}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{2}=\mathrm{z}=\mathrm{2y}−\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}=−\mathrm{2}\Rightarrow\left(\mathrm{y}−\mathrm{8}\right)−\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)=−\mathrm{2}\Rightarrow−\mathrm{6}=−\mathrm{2}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2s}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{y}−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{3s}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{10}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} −\mathrm{4}\leqslant\mathrm{3m}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{10}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{3m}+\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{m}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2}\right\}\mathrm{m}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{s}\left(\mathrm{y}\right)\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3}=\mathrm{y}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{2}+\mathrm{8}+\mathrm{2}=\mathrm{12} \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left\{\left(\mathrm{2},\mathrm{8},\mathrm{12}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{5}=\mathrm{y}−\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{9}\leqslant\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}\leqslant\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{y}\in\left\{\mathrm{10},\mathrm{11}\right\} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{3}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{2y}−\mathrm{4}\geqslant\mathrm{100}\:\mathrm{absurd} \\ $$$$\Rightarrow\left\{\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)\right\}=\left\{\left(\mathrm{2},\mathrm{8},\mathrm{12}\right)\right\}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by aliesam last updated on 30/Oct/19

elegant solution sir . god bless you

$${elegant}\:{solution}\:{sir}\:.\:{god}\:{bless}\:{you} \\ $$

Commented by mind is power last updated on 30/Oct/19

Thank you sir

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\:\mathrm{sir} \\ $$

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