Question Number 72671 by aliesam last updated on 31/Oct/19
Commented by kaivan.ahmadi last updated on 31/Oct/19
$$\left.{a}\right) \\ $$$$\mid{x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{{n}} \mid\leqslant{c}\mid{x}_{{n}} −{x}_{{n}−\mathrm{1}} \mid\leqslant{c}^{\mathrm{2}} \mid{x}_{{n}−\mathrm{1}} −{x}_{{n}−\mathrm{2}} \mid\leqslant...\leqslant{c}^{{n}} \mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid \\ $$$$\left.{b}\right) \\ $$$$\mid{x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid=\mid\left({x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{{n}} \right)+\left({x}_{{n}} −{x}_{{n}−\mathrm{1}} \right)+...+\left({x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \right)\mid\leqslant \\ $$$$\mid{x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{{n}} \mid+\mid{x}_{{n}} −{x}_{{n}−\mathrm{1}} \mid+...+\mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid\leqslant \\ $$$${c}^{{n}} \mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid+{c}^{{n}−\mathrm{1}} \mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid+...+\mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid= \\ $$$$\left({c}^{{n}} +{c}^{{n}−\mathrm{1}} +...+\mathrm{1}\right)\mid{x}_{\mathrm{1}} −{x}_{\mathrm{0}} \mid \\ $$$$\left.{c}\right) \\ $$$${x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{{k}} =\left({x}_{{n}+\mathrm{1}} −{x}_{{n}} \right)+\left({x}_{{n}} −{x}_{{n}−\mathrm{1}} \right)+...+\left({x}_{{k}+\mathrm{1}} −{x}_{{k}} \right)\Rightarrow \\ $$$${c}\:\:{is}\:{clear}. \\ $$