Question Number 7287 by sarathon last updated on 21/Aug/16
$$\mathrm{7}{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{7}^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} +\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{7}^{{n}} {a}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{a}_{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }=? \\ $$
Commented by sou1618 last updated on 21/Aug/16
$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{7}{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{7}^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} +...+\mathrm{7}^{{n}} {a}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{7}{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{7}^{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} +...+\mathrm{7}^{{n}−\mathrm{1}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{7}^{{n}} {a}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{7}^{{n}} {a}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow{a}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\right)^{{n}} \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{a}_{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\right)^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\right)^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} } \\ $$$${S}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)^{{n}} \\ $$$${S}=\mathrm{2}×\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}×\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)^{\infty} }{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)}\right) \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)^{\infty} =\mathrm{0} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}}×\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{7}−\mathrm{1}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$+++++++++++++++ \\ $$$${if}\:{you}\:{need}...\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}^{{k}} ={a}\frac{\mathrm{1}−{a}^{{n}} }{\mathrm{1}−{a}}\right)... \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right){A}={a}+{a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{3}} +...+{a}^{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right){aA}={a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{3}} +{a}^{\mathrm{4}} +...+{a}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{4}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{a}\right){A}={a}−{a}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${A}={a}\frac{\mathrm{1}−{a}^{{n}} }{\mathrm{1}−{a}} \\ $$
Commented by peter james last updated on 22/Aug/16
$${very}\:{gd}. \\ $$