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Question Number 73052 by mathmax by abdo last updated on 05/Nov/19

let P_n =X^n  +X^(n−1)  +....+X^2  +X−1 ∈R[X]  1)prove that P_n have one root x_n  inside ]0,+∞[  2)study the sequence x_n

$${let}\:{P}_{{n}} ={X}^{{n}} \:+{X}^{{n}−\mathrm{1}} \:+....+{X}^{\mathrm{2}} \:+{X}−\mathrm{1}\:\in{R}\left[{X}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{1}\left.\right){prove}\:{that}\:{P}_{{n}} {have}\:{one}\:{root}\:{x}_{{n}} \:{inside}\:\right]\mathrm{0},+\infty\left[\right. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){study}\:{the}\:{sequence}\:{x}_{{n}} \\ $$

Answered by mind is power last updated on 06/Nov/19

P_n ′=Σ_(k=1) ^n kx^(k−1) >0  pn(0)=−1  P_n (1)=n−1≥0 if n≥2  n=0 ,p=0  p_1 =x−1⇒x_1 =1  ∀n≥2   x_n <1  ⇒P_(n+1) (x_n )=Σ_(k=1) ^(k=n+1) x_n ^k   −1=x_n ^(n+1) >0  p_(n+1) (x_(n+1) )=0⇒x_(n+1) <x_n   we have x_n  decrease sequence and x_n ∈[0,1[  x_n cv  p_n (x)=((x^(n+1) −1)/(x−1))−2  ⇒p_n (x)=0⇔x^(n+1) −2x+1=0  ⇒x^(n+1) −2x=−1  let x_2   x^2 +x−1=0  ⇒x_2 =((−1+(√5))/2)<1  for n≥2  x_n ^(n+1) ≤x_2 ^(n+1) =(((−1+(√5))/2))^(n+1) →0  p_n (x_n )=0⇔x_n ^(n+1) −2x+1=0  tack n→+∞  withe X_n ^(n+1) →0  ⇒x_n →(1/2)

$$\mathrm{P}_{\mathrm{n}} '=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{pn}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{if}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{0}\:,\mathrm{p}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$$\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} <\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{k}=\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\:−\mathrm{1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} <\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{decrease}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{cv} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{tack}\:\mathrm{n}\rightarrow+\infty \\ $$$$\mathrm{withe}\:\mathrm{X}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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