Question Number 73273 by peter frank last updated on 09/Nov/19
Answered by MJS last updated on 09/Nov/19
![tricky... x^2 −cos 2x −1= =x^2 −2cos^2 x = =x^2 (sin^2 x +cos^2 x)−2cos^2 x +sin x cos x −sin x cos x= =(x^2 sin^2 x −xsin x cos x −2cos^2 x)+(xsin x cos x +x^2 cos^2 x)= =(xsin x −2cos x)(xsin x +cos x)+xcos x (sin x +xcos x) ⇒ ∫((x^2 −cos 2x −1)/((xsin x +cos x)^2 ))dx= =+∫((xsin x −2cos x)/(xsin x +cos x))dx+∫((xcos x (sin x +xcos x))/((xsin x +cos x)^2 ))dx now the 2^(nd) one by parts ∫u′v=uv−∫uv′ u′=((xcos x)/((xsin x +cos x)^2 )) → u=−(1/(xsin x +cos x)) [t=xsin x +cos x → dx=(dt/(xcos x)) ... ∫(dt/t^2 )=−(1/t)] v=sin x +xcos x → v′=−xsin x+2cos x ∫((xcos x (sin x +xcos x))/((xsin x +cos x)^2 ))dx= =−((sin x +xcos x)/(xsin x +cos x))−∫((xsin x −2cos x)/(xsin x +cos x))dx ⇒ we don′t have to integrate the red one ∫((x^2 −cos 2x −1)/((xsin x +cos x)^2 ))dx=−((sin x +xcos x)/(xsin x +cos x))+C](Q73285.png)
$$\mathrm{tricky}... \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{1}= \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:= \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)−\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:+\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}= \\ $$$$=\left({x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−{x}\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)+\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:+{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)= \\ $$$$=\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}\right)\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)+{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{1}}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$=+\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx}+\int\frac{{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{one}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$ \\ $$$$\int{u}'{v}={uv}−\int{uv}' \\ $$$${u}'=\frac{{x}\mathrm{cos}\:{x}}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\:{u}=−\frac{\mathrm{1}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}={x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{{x}\mathrm{cos}\:{x}}\:...\:\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{{t}}\right] \\ $$$${v}=\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\rightarrow\:{v}'=−{x}\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{2cos}\:{x} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}−\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\mathrm{integrate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{red}\:\mathrm{one} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{1}}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}=−\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}+{C} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 10/Nov/19
$$\mathrm{nice}\:\mathrm{Sir}\: \\ $$
Commented by peter frank last updated on 10/Nov/19
$${thank}\:{you} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 10/Nov/19
$${sorry}\:{sir}\:{why}\:{we}\:{don}^{'} {t}\:{integrate}\:{red}\:{one} \\ $$
Commented by MJS last updated on 10/Nov/19
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{1}}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$=+\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx}+\int\frac{{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\mathrm{with}\:\int\frac{{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left({x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}−\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx} \\ $$$$\mathrm{gives} \\ $$$$+\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx}−\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}−\int\frac{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}}{dx}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:+{x}\mathrm{cos}\:{x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{cos}\:{x}} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 10/Nov/19
$${thank}\:{you}\: \\ $$