Question Number 74554 by shubham90412@gmail.com last updated on 26/Nov/19
$$\boldsymbol{{Find}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{superimum}}\:\boldsymbol{{of}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{set}}\:\left\{\frac{\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\boldsymbol{{n}}} }\right\} \\ $$
Answered by MJS last updated on 26/Nov/19
$$\mathrm{trying} \\ $$$${S}=\left\{\mathrm{0},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{32}},\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}},\:...\right\} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{calculating} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{x}} } \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{x}} }\left(\mathrm{2}−{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{x}} }\left(\mathrm{2}−{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{0}\vee{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\approx\mathrm{2}.\mathrm{89} \\ $$$${f}''\left({x}\right)=\frac{\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{x}} } \\ $$$${f}''\left(\mathrm{0}\right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{minimum} \\ $$$${f}''\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{maximum} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\mathrm{try}\:{n}=\lfloor\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\rfloor=\mathrm{2}\vee{n}=\lceil\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\rceil=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{supremium}\:\mathrm{at}\:{n}=\mathrm{3} \\ $$