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Question Number 74861 by aliesam last updated on 02/Dec/19

Answered by mind is power last updated on 02/Dec/19

(ln^2 (x))^(1/2) =−ln(x)  (ln(x^2 ))^((−1)/2) =(1/(√2)).((1/(ln(x))))^(1/2)   (ln^2 (x))^(1/2) .(ln(x^2 ))^(−(1/2)) +(√(ln(x)))  =−((√(ln(x)))/(√2))+(√(ln(x)))=(((√2)−1)/(√2))(√(ln(x)))  ((ln(x)+1)/(√(2ln(x))))−(√(ln((√x)))))  =((ln(x)+1)/(√(2ln(x))))−(√((((ln(x))/2))))  =((√(ln(x)))/(√2))+(1/(√(2ln(x))))−(√((ln(x))/2))  =(√((ln(x))/2))+(1/(√(2ln(x))))−(√((ln(x))/2))=(1/(√(2ln(x))))  (((ln^2 (x)(ln(x^2 ))^(−(1/2)) +(√(ln(x))))/(((ln(x)+1)/(√(2ln(x))))−(√(ln((√x))))))))=(((√2)−1)/(√2))ln(x).(1/(1/(√(2ln(x)))))=((√2)−1)ln(x)  ∫_0 ^1 ((√2)−1)ln(x)dx=((√2)−1)∫_0 ^1 ln(x)dx  =((√2)−1)[xln(x)−x]_0 ^1 =−((√2)−1)

$$\left(\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\left(\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} .\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=−\frac{\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left.\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left(\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left.\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)}}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right).\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\left[\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =−\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right) \\ $$

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