Question Number 75041 by ~blr237~ last updated on 06/Dec/19
![1) Show that for a∈]01]the function f_a :R_+ →R defined by f_a (x)=x^a is a−holder function in other way there exist K>0 such as ∀ x,y>0 ∣f_a (x)−f_a (y)∣≤K∣x−y∣^a](Q75041.png)
$$\left.\mathrm{1}\left.\right)\left.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\in\right]\mathrm{01}\right]\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \::\mathbb{R}_{+} \rightarrow\mathbb{R}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{by}\:\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \: \\ $$ $$\mathrm{is}\:\:\:\mathrm{a}−\mathrm{holder}\:\mathrm{function}\:\:\mathrm{in}\:\mathrm{other}\:\mathrm{way}\:\:\mathrm{there}\:\mathrm{exist}\:\:\mathrm{K}>\mathrm{0}\:\mathrm{such}\:\mathrm{as}\:\forall\:\mathrm{x},\mathrm{y}>\mathrm{0}\: \\ $$ $$\mid\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{y}\right)\mid\leqslant\mathrm{K}\mid\mathrm{x}−\mathrm{y}\mid^{\mathrm{a}} \:\: \\ $$ $$ \\ $$
Commented by~blr237~ last updated on 06/Dec/19
![for a∈]0,1[](Q75042.png)
$$\left.\mathrm{for}\:\:\mathrm{a}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\:\right. \\ $$
Answered by mind is power last updated on 06/Dec/19
![error my previous post i put inquality in wrong why i found this new approch x^a −y^a ≤(x−y)^a ...? ⇔1−((y/x))^a ≤(1−(y/x))^a ,<0<y<x t=(y/x)∈]0,1[ 1−t^a ≤(1−t)^a ⇔(1−t)^a +t^a ≥1 let f_t (a)=(1−t)^a +t^a =e^(aln(1−t)) +e^(aln(t)) f′(a)=ln(1−t)e^(aln(1−t)) +ln(t)e^(aln(t)) <0,sincet∈]0,1[ ⇒f(a)≥f(1)=1−t+t=1 ⇒1≤t^a +(1−t)^a ⇒x^a −y^a ≤∣x−y∣^a f_a is holder k=1](Q75068.png)
$$\mathrm{error}\:\mathrm{my}\:\mathrm{previous}\:\mathrm{post}\:\mathrm{i}\:\mathrm{put}\:\mathrm{inquality}\:\mathrm{in}\:\mathrm{wrong}\:\mathrm{why} \\ $$ $$\mathrm{i}\:\mathrm{found}\:\mathrm{this}\:\mathrm{new}\:\mathrm{approch} \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{a}} −\mathrm{y}^{\mathrm{a}} \leqslant\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{a}} ...? \\ $$ $$\Leftrightarrow\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{a}} \leqslant\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{a}} ,<\mathrm{0}<\mathrm{y}<\mathrm{x} \\ $$ $$\left.\mathrm{t}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right. \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{a}} \leqslant\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} \Leftrightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} +\mathrm{t}^{\mathrm{a}} \geqslant\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{let}\:\mathrm{f}_{\mathrm{t}} \left(\mathrm{a}\right)=\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} +\mathrm{t}^{\mathrm{a}} =\mathrm{e}^{\mathrm{aln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)} +\mathrm{e}^{\mathrm{aln}\left(\mathrm{t}\right)} \\ $$ $$\left.\mathrm{f}'\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{aln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)} +\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{aln}\left(\mathrm{t}\right)} <\mathrm{0},\mathrm{sincet}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right. \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\geqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{t}+\mathrm{t}=\mathrm{1} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{t}^{\mathrm{a}} +\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{a}} −\mathrm{y}^{\mathrm{a}} \leqslant\mid\mathrm{x}−\mathrm{y}\mid^{\mathrm{a}} \\ $$ $$\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{holder}\:\mathrm{k}=\mathrm{1} \\ $$ $$ \\ $$