Question Number 75141 by chess1 last updated on 07/Dec/19
Commented by chess1 last updated on 08/Dec/19
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{please} \\ $$
Commented by chess1 last updated on 08/Dec/19
$$\mathrm{Sir}\:\:\mathrm{mathmax}\:\:,\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mind}\:\mathrm{is}\:\mathrm{power}\: \\ $$
Answered by mind is power last updated on 08/Dec/19
![∫ln(z−a)dz=(z−a)ln(z−a)−z ⇒∫_e ^(x+y+e) ((ln(z−x−y))/((x−e)(x+y−e)))dz=(([(z−x−y)ln(z−x−y)−z]_e ^(x+y+e) )/((x−e)(x+y−e))) =((e−(x+y+e)−(e−x−y)ln(e−x−y)+e)/((x−e)(e−x−y))) =((1−ln(e−x−y))/(x−e)) ∫_0 ^(e−x−1) ((1−ln(e−x−y))/(x−e))dy=(1/(x−e))∫_0 ^(e−x−1) (1−ln(e−x−y))dy =(1/(x−e))[y+(e−x−y)ln(e−x−y)+y]_0 ^(e−x−1) =(1/(x−e))[2(e−x−1)−(e−x)ln(e−x)] =2−(2/(x−e))−ln(e−x) ∫_0 ^(e−1) (2−(2/(x−e))−ln(e−x))dx=[2x−2ln∣x−e∣+(e−x)ln(e−x)+x]_0 ^(e−1) =3(e−1)+2−e=2e−1](Q75199.png)
$$\int\mathrm{ln}\left(\mathrm{z}−\mathrm{a}\right)\mathrm{dz}=\left(\mathrm{z}−\mathrm{a}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{z}−\mathrm{a}\right)−\mathrm{z} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{e}} ^{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{e}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{e}\right)}\mathrm{dz}=\frac{\left[\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)−\mathrm{z}\right]_{\mathrm{e}} ^{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{e}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{e}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{e}\right)−\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)+\mathrm{e}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}\right)\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{e}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}\mathrm{dy}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\right)\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}\left[\mathrm{y}+\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)+\mathrm{y}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}\left[\mathrm{2}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right)\right] \\ $$$$=\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=\left[\mathrm{2x}−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{e}\mid+\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{3}\left(\mathrm{e}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}−\mathrm{e}=\mathrm{2e}−\mathrm{1} \\ $$
Commented by chess1 last updated on 08/Dec/19
$$\mathrm{great}!\: \\ $$