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Question Number 75392 by wo1lxjwjdb last updated on 10/Dec/19

what is the general formular for the (d^n /dx^n )((x/(e^x −1)))

$${what}\:{is}\:{the}\:{general}\:{formular} \\ $$$${for}\:{the}\:\frac{{d}^{{n}} }{{dx}^{{n}} }\left(\frac{{x}}{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$

Answered by mind is power last updated on 10/Dec/19

(x/(e^x −1))=x.(1/(e^x −1)) (d^n /dx^n ).((x/(e^x −1)))=Σ_(k=0) ^n C_n ^k .(x)^((k)) .((1/(e^x −1)))^((n−k)) =x.((1/(e^x −1)))^((n)) +n.((1/(e^x −1)))^((n−1)) (d/dx^n )((1/(e^x −1))) (d/dx)((1/(e^x −1)))=−(e^x /((e^x −1)^2 ))=−(1/(e^x −1))−(1/((e^x −1)^2 )) f(x)=(1/(e^x −1)) ⇒f′(x)=−f(x)−f^2 (x)=P(f(x)) P(X)=−X−X^2 let P_n (X) defind like P_n (f(x))=(d^n /dx^n )f(x) ⇒P_(n+1) (f(x))=(d^(n+1) /dx^(n+1) )f(x)=(d/dx)(P_n (f(x)) =f′(x).P_n ^′ (f(x)) =(−f(x)−f^2 (x)).P′_n (f(x))=P_(n+1) (f(x)) ⇒P_(n+1) (X)=−(X+X^2 )P_n ^′ (X) P_0 =X ⇒(d^n /dx^n )(f(x))=P_n (f(x)) ⇒(d/dx^n )((x/(e^x −1)))=xp_n (f(x))+nP_(n−1) (f(x)) { ((P_0 (X)=X)),((P_(n+1) (X)=−(X^2 +X)P_n ′(X))) :}

$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}=\mathrm{x}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }.\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} .\left(\mathrm{x}\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} .\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{x}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)^{\left(\mathrm{n}\right)} +\mathrm{n}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)=−\frac{{e}^{{x}} }{\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{e}^{{x}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\right)=−\mathrm{X}−\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{X}\right)\:\mathrm{defind}\:\mathrm{like} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right. \\ $$$$=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{P}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$=\left(−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right).\mathrm{P}'_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{X}\right)=−\left(\mathrm{X}+\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{P}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{X}\right) \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{0}} =\mathrm{X} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\right)=\mathrm{xp}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{nP}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{P}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{X}\right)=\mathrm{X}}\\{\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{X}\right)=−\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{X}\right)\mathrm{P}_{\mathrm{n}} '\left(\mathrm{X}\right)}\end{cases} \\ $$

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