Question Number 7598 by Rohit last updated on 05/Sep/16 | ||
$${solve}\:\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{3} \\ $$ | ||
Answered by Rasheed Soomro last updated on 06/Sep/16 | ||
$$\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\mid<\mathrm{3} \\ $$ $$\pm\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}<\mathrm{3} \\ $$ $$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}<\mathrm{3}\:\:\:\mid\:\:\:−\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}<\mathrm{3} \\ $$ $$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}<\mathrm{3}\:\:\:\mid\:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}>−\mathrm{3} \\ $$ $$ \\ $$ $$\:{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\:\left[{See}\:{the}\:{reason}\:{in}\:{the}\:{comment}\:{by}\:{Sandy}\:{below}\right. \\ $$ $$\left.{or}\:{see}\:{the}\:{explanation}\:{for}\:{this}\:{in}\:{the}\:{answer}\:{by}\:{Yozzia}.\right] \\ $$ $${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}<\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}\:\:\mid\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}>−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}+\mathrm{4}>\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:\:\:\:\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$ $${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}>\mathrm{0} \\ $$ $$\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)>\mathrm{0}\:\:\:\mid\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} >−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} >\mathrm{0}\Rightarrow\:{x}>\mathrm{0}\:\vee\:{x}<\mathrm{0} \\ $$ $$\left({x}+\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\wedge\:{x}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\right)\:{or}\:\left({x}+\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\wedge\:{x}+\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\right) \\ $$ $${x}>−\mathrm{2}\:\wedge\:{x}>−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{or}\:{x}<−\mathrm{2}\:\wedge\:{x}<−\mathrm{1} \\ $$ $${x}>−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{or}\:\:{x}<−\mathrm{2} \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented bysandy_suhendra last updated on 05/Sep/16 | ||
$$\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)\:{is}\:{always}\:{positive},\: \\ $$ $${because}\:{a}>\mathrm{0}\:{and}\:{D}={b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}=\mathrm{1}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow{D}<\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented byRasheed Soomro last updated on 05/Sep/16 | ||
$$\mathcal{TH}_{{n}} ^{\alpha} \mathcal{KS}! \\ $$ | ||