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Question Number 76323 by aliesam last updated on 26/Dec/19

Commented by mind is power last updated on 27/Dec/19

$${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}=\int {\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\mathrm{dx}$$$$\mathrm{by}\mathrm{part}$$$${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{a}}\int {\mathrm{ncos}}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\sin \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$$$${\mathrm{aI}}_{\mathrm{n}}={\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}+\mathrm{n}\int {\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)\sin \left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\mathrm{dx}$$$$\mathrm{by}\mathrm{part}\mathrm{withe}{\mathrm{u}}^{\prime }=\sin \left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}},\mathrm{v}={\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)$$$${\mathrm{v}}^{\prime }=-(\mathrm{n}-1){\cos }^{\mathrm{n}-2}\left(\mathrm{x}\right)\sin \left(\mathrm{x}\right)$$$$\mathrm{u}=\int \mathrm{Im}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}(\mathrm{i}+\mathrm{a})}\right)\mathrm{dx}$$$$=\mathrm{Im}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}}{\mathrm{i}+\mathrm{a}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)-\cos \left(\mathrm{x}\right))}{{\mathrm{a}}^2+1}$$$$\mathrm{u}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)-\cos \left(\mathrm{x}\right))}{{\mathrm{a}}^2+1}$$$${\mathrm{aI}}_{\mathrm{n}}={\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}+\mathrm{n}\left[\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)-\cos \left(\mathrm{x}\right)){\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{a}}^2+1}\right]+\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)\int \frac{\sin \left(\mathrm{x}\right){\cos }^{\mathrm{n}-2}\left(\mathrm{x}\right).{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)-\cos \left(\mathrm{x}\right))}{{\mathrm{a}}^2+1}\mathrm{dx}$$$$\mathrm{a}({\mathrm{a}}^2+1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}=({\mathrm{a}}^2+1){\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}+{\mathrm{ne}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)-\cos \left(\mathrm{x}\right)){\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right))+\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)\int {\mathrm{acos}}^{\mathrm{n}-2}\left(\mathrm{x}\right)(1-{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right))\mathrm{dx}-\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)\int \sin \left(\mathrm{x}\right){\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\mathrm{dx}$$$$\iff \mathrm{a}({\mathrm{a}}^2+1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(({\mathrm{a}}^2+1-\mathrm{n}){\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right))+\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{aI}}_{\mathrm{n}-2}-\mathrm{an}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)\int \sin \left(\mathrm{x}\right){\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\mathrm{dx}$$$$\int \sin \left(\mathrm{x}\right){\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}=-\frac{{\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\int {\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\mathrm{dx}$$$$=-\frac{{\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}}{\mathrm{n}}+\frac{{\mathrm{aI}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$$$$\Rightarrow \mathrm{a}({\mathrm{a}}^2+1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}({\mathrm{a}}^2{\cos }^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right))+\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{aI}}_{\mathrm{n}-2}-\mathrm{an}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}$$$$\Rightarrow \mathrm{a}({\mathrm{a}}^2+1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}+\mathrm{a}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}+\mathrm{an}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}{\mathrm{a}}^2{\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)(1+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\sin \left(\mathrm{x}\right))+\mathrm{an}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}-2}$$$$\mathrm{a}({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{n}}^2){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}{\mathrm{a}}^2{\cos }^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)(1+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\sin \left(\mathrm{x}\right))+\mathrm{an}(\mathrm{n}-1){\mathrm{I}}_{\mathrm{n}-2}$$$$\Rightarrow {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}{\mathrm{acos}}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{n}}^2}(1+\frac{\mathrm{nsin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}})+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{n}}^2}{\mathrm{I}}_{\mathrm{n}-2}$$$$$$

Commented by aliesam last updated on 27/Dec/19

$$thankyousir.nicework$$

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