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Question Number 77799 by mr W last updated on 10/Jan/20

if a_1 =3 and a_(n+1) =3a_n +6n^2 −12n+2 find a_n in terms of n.

$${if}\:{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}\:{and} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$${find}\:{a}_{{n}} \:{in}\:{terms}\:{of}\:{n}. \\ $$

Answered by mr W last updated on 12/Jan/20

let A_n =3^n a+bn^2 +cn+d A_(n+1) =3^(n+1) a+b(n+1)^2 +c(n+1)+d =3^(n+1) a+3bn^2 +3cn+3d+6n^2 −12n+2 b(2n^2 −2n−1)+c(2n−1)+2d+6n^2 −12n+2=0 2(b+3)n^2 −2(b−c+6)n−b−c+2d+2=0 b+3=0 ⇒b=−3 b−c+6=0 ⇒−3−c+6=0 ⇒c=3 −b−c+2d+2=0 ⇒3−3+2d+2=0 ⇒d=−1 A_n =3^n a−3n^2 +3n−1 A_1 =3a−3+3−1=3 ⇒a=(4/3) ⇒A_n =4×3^(n−1) −3n^2 +3n−1 check: A_(n+1) =4×3^n −3(n+1)^2 +3(n+1)−1 A_(n+1) =4×3^n −3n^2 −3n−1 3A_n +6n^2 −12n+2=4×3^n −9n^2 +9n−3+6n^2 −12n+2 3A_n +6n^2 −12n+2=4×3^n −3n^2 −3n−1 ⇒A_(n+1) =3A_n +6n^2 −12n+2 ⇒ok

$${let}\:{A}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} {a}+{bn}^{\mathrm{2}} +{cn}+{d} \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} {a}+{b}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{c}\left({n}+\mathrm{1}\right)+{d} \\ $$$$=\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} {a}+\mathrm{3}{bn}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{cn}+\mathrm{3}{d}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$${b}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)+{c}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{d}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left({b}+\mathrm{3}\right){n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({b}−{c}+\mathrm{6}\right){n}−{b}−{c}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${b}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{b}=−\mathrm{3} \\ $$$${b}−{c}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{3}−{c}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{c}=\mathrm{3} \\ $$$$−{b}−{c}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{3}−\mathrm{3}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{d}=−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} {a}−\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}−\mathrm{3}+\mathrm{3}−\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${check}: \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{n}−\mathrm{3}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}\:\Rightarrow{ok} \\ $$

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