Question Number 77803 by aliesam last updated on 10/Jan/20
$${solve} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right){y}''−\left(\mathrm{12}{x}+\mathrm{6}\right){y}'−\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}{y}+\mathrm{6}{x} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 11/Jan/20
$$\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{y}''−\mathrm{6}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'=\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{1}−\mathrm{16y} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{y}''−\mathrm{6}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'+\mathrm{16y}=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{2x}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{z}\left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{z}'\left(\mathrm{u}\right).\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{4z}''\left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}''\left(\mathrm{u}\right)−\mathrm{12uz}'\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{16z}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{u}^{\mathrm{3}} ...\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{Hogenius}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}''\left(\mathrm{u}\right)−\mathrm{12uz}'\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{16z}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{u}^{\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{t}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3t}+\mathrm{4}\right)\mathrm{u}^{\mathrm{t}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4t}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{z}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{z}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{S}\left(\mathrm{u}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}'=\mathrm{2us}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}' \\ $$$$\mathrm{z}''=\mathrm{4us}'+\mathrm{2s}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}'^{'} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}''+\mathrm{2s}+\mathrm{4us}'\right)−\mathrm{12u}\left(\mathrm{2us}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}'\right)+\mathrm{16u}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4u}^{\mathrm{4}} \mathrm{s}''+\mathrm{4u}^{\mathrm{3}} \mathrm{s}'=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{us}''+\mathrm{s}'=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{us}'\right)'=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{us}'=\mathrm{c} \\ $$$$\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{du}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{u}}\Rightarrow\mathrm{ds}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{u}}\mathrm{du}\Rightarrow\mathrm{s}=\mathrm{aln}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{aln}\left(\mid\mathrm{u}\mid\right)+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}''−\mathrm{12uz}'+\mathrm{16z}=\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{au}^{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{6au}\right)−\mathrm{12u}\left(\mathrm{3au}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{16au}^{\mathrm{3}} =\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\mathrm{z}=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}}\Rightarrow\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{Z}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{aln}\left(\mid\mathrm{u}\mid\right)+\mathrm{b}\right)+\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{aln}\mid\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid+\mathrm{b}\right)+\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by key of knowledge last updated on 10/Jan/20
$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{u}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{''} −\mathrm{6uy}^{'} +\mathrm{16y}=\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}}=\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 11/Jan/20
$$\mathrm{forp}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\:\mathrm{yes} \\ $$