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Question Number 78650 by Pratah last updated on 19/Jan/20

Commented by mr W last updated on 19/Jan/20

=x^2 +1

$$={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$

Commented by john santu last updated on 20/Jan/20

sorry sir, yesterday already   slept

$${sorry}\:{sir},\:{yesterday}\:{already}\: \\ $$$${slept} \\ $$

Commented by Pratah last updated on 19/Jan/20

sir john santu

$$\mathrm{sir}\:\mathrm{john}\:\mathrm{santu} \\ $$

Commented by Pratah last updated on 19/Jan/20

please

$$\mathrm{please} \\ $$

Answered by mind is power last updated on 19/Jan/20

p=3x^4 +2x^3 +x^2 +2x−2=3x^4 −3+2x^3 +2x+x^2 +1=3(x^2 −1)(x^2 +1)  +2x(1+x^2 )+x^2 +1=(x^2 +1)(3(x^2 −1)+2x+1)=(x^2 +1)(3x^2 +2x−2)  Q=x^5 +x^4 −x^3 −2x−1=x^5 +x^3 +x^4 −1−2x−2x^3   =x^3 (1+x^2 )+(x^2 −1)(x^2 +1)−2x(1+x^2 )=(1+x^2 )(x^3 +x^2 −1−2x)  =(1+x^2 )(x^3 +x^2 −2x−1)  So (1+x^2 )∣gcd(p,q)  x^3 +x^2 −2x−1 and 3x^2 +2x−2   has dufferent roots⇒ primes  ⇒  gcd=1+x^2

$$\mathrm{p}=\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$+\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Q}=\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}−\mathrm{2x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{So}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mid\mathrm{gcd}\left(\mathrm{p},\mathrm{q}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\: \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{dufferent}\:\mathrm{roots}\Rightarrow\:\mathrm{primes} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{gcd}=\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by Pratah last updated on 19/Jan/20

thanks

$$\mathrm{thanks} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Jan/20

gcd(x^5 +x^4 −x^3 −2x−1,3x^4 +2x^3 +x^2 +2x−2)  =gcd(3(x^5 +x^4 −x^3 −2x−1),3x^4 +2x^3 +x^2 +2x−2)   determinant ((,(x+1)),((3x^4 +2x^3 +x^2 +2x−2)),(+3x^5 +3x^4 −3x^3 +0x^2 −6x−3)),(,(+_− 3x^5 +_(−) 2x^4 +_(−)    x^3 +_(−) 2x^2 −_(+) 2x)),(,(3(x^4 −4x^3 −2x^2 −4x−3))),(,(=3x^4 −12x^3 −6x^2 −12x−9)),(,(+_− 3x^4 +_(−)    2x^3 +_(−)     x^2 +_(−)    2x−_(+) 2)),(,(−14x^3 −7x^2 −14x−7)),(,(=−7(2x^3 +x^2 +2x+1))))     determinant ((,(x+1)),((6x^3 +3x^2 +6x+3)),(+6x^4 +4x^3 +2x^2 +4x−4)),(,(+_− 6x^4 +_(−) 3x^3 +_(−) 6x^2 +_(−) 3x)),(,(x^3 −4x^2 +x−4)),(,(6(x^3 −4x^2 +x−4))),(,(=6x^3 −24x^2 +6x−24)),(,(+_− 6x^3 +_(−) 3x^2 +_(−) 6x+_(−) 3)),(,(−27x^2 −27)),(,(=−27(x^2 +1))))     determinant ((,(6x+3)),((x^2 +1)),(    6x^3 +3x^2 +6x+3)),(,(+_− 6x^3            +_(−) 6x)),(,(    3x^2 +3)),(,(+_− 3x^2 +_(−) 3)),(,0))  gcd=x^2 +1

$$\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1},\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right),\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\begin{vmatrix}{}&{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\\{\left.\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)}&{+\mathrm{3x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{0x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}−\mathrm{3}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{3x}^{\mathrm{5}} \underset{−} {+}\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} \underset{−} {+}\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \underset{−} {+}\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \underset{+} {−}\mathrm{2x}}\\{}&{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}−\mathrm{3}\right)}\\{}&{=\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}−\mathrm{9}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \underset{−} {+}\:\:\:\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \underset{−} {+}\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \underset{−} {+}\:\:\:\mathrm{2x}\underset{+} {−}\mathrm{2}}\\{}&{−\mathrm{14x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}−\mathrm{7}}\\{}&{=−\mathrm{7}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$ \\ $$$$\begin{vmatrix}{}&{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\\{\left.\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{3}\right)}&{+\mathrm{6x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{4}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{6x}^{\mathrm{4}} \underset{−} {+}\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} \underset{−} {+}\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} \underset{−} {+}\mathrm{3x}}\\{}&{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{4}}\\{}&{\mathrm{6}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\\{}&{=\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{24x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}−\mathrm{24}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} \underset{−} {+}\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \underset{−} {+}\mathrm{6x}\underset{−} {+}\mathrm{3}}\\{}&{−\mathrm{27x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{27}}\\{}&{=−\mathrm{27}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$ \\ $$$$\begin{vmatrix}{}&{\mathrm{6x}+\mathrm{3}}\\{\left.\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}&{\:\:\:\:\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{3}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{−} {+}\mathrm{6x}}\\{}&{\:\:\:\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\\{}&{\underset{−} {+}\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \underset{−} {+}\mathrm{3}}\\{}&{\mathrm{0}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{gcd}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$

Commented by Pratah last updated on 19/Jan/20

great

$$\mathrm{great} \\ $$

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