Question Number 79649 by john santu last updated on 27/Jan/20 | ||
$$\mathrm{given}\:\mathrm{a},\mathrm{ar},\mathrm{ar}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{ar}^{\mathrm{3}} ,...\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{GPwith}\: \\ $$ $$\mathrm{n}\rightarrow\infty\:,\mathrm{r}\:<\:\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{if}\::\:\mathrm{a},\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{ar},\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{x}_{\mathrm{4}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{5}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{6}} ,\mathrm{ar}^{\mathrm{2}} , \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{7}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{8}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{9}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{10}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{11}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{12}} ,\:\mathrm{ar}^{\mathrm{3}} ,...\:. \\ $$ $$\mathrm{where}\::\:\mathrm{a},\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{ar}\:\Rightarrow\mathrm{AP} \\ $$ $$\mathrm{ar},\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{4}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{5}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{6}} ,\mathrm{ar}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{AP} \\ $$ $$\mathrm{ar}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{7}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{8}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{9}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{10}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{11}} ,\mathrm{x}_{\mathrm{12}} ,\mathrm{ar}^{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{AP} \\ $$ $$...\mathrm{etc} \\ $$ $$\mathrm{if}\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{3}} +...\right)=\:\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}×\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{r}} \\ $$ $$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{r}\:? \\ $$ | ||
Commented byjohn santu last updated on 27/Jan/20 | ||
$$\mathrm{mister}\:\mathrm{Mjs}\:,\:\mathrm{W},\:\mathrm{mind}\:\mathrm{is}\:\mathrm{power}\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{your}\:\mathrm{help} \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented bymind is power last updated on 27/Jan/20 | ||
$${a},{x}_{\mathrm{1}} ,{x}_{\mathrm{2}} ,{ar}\:\:\:{Ap} \\ $$ $${s}=\mathrm{2}{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right) \\ $$ $${x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)−{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)={a}\left(\mathrm{1}+{r}\right) \\ $$ $${x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} +{x}_{\mathrm{5}} +{x}_{\mathrm{6}} =\mathrm{2}\left({ar}+{ar}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$ $${x}_{\mathrm{7}} +........+{x}_{\mathrm{12}} =\mathrm{3}\left({ar}^{\mathrm{2}} +{ar}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$ $${we}\:{get}\:\Sigma{x}_{{k}} =\Sigma\left({a}+\mathrm{2}{ar}+\mathrm{3}{ar}^{\mathrm{2}} +.......\right)+\Sigma\left({ar}+\mathrm{2}{ar}^{\mathrm{2}} +........\right) \\ $$ $$={a}\Sigma\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{r}+\mathrm{3}{r}^{\mathrm{2}} +....\right)+{ar}\Sigma\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{r}+\mathrm{3}{r}^{\mathrm{2}} +.......\right) \\ $$ $$=\left({a}+{ar}\right)\Sigma\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{r}+\mathrm{3}{r}^{\mathrm{2}} +....\right) \\ $$ $$\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}{kr}^{{k}−\mathrm{1}} =\Sigma\frac{{d}}{{dr}}\left({r}^{{k}} \right)=\frac{{d}}{{dr}}\Sigma{r}^{{k}} =\frac{{d}}{{dr}}\left(\frac{{r}}{\mathrm{1}−{r}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\left.\Rightarrow\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{21}{a}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{1}−{r}\right)},{r}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right. \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{21}\left(\mathrm{1}−{r}\right)=\mathrm{16}\left(\mathrm{1}+{r}\right)\Rightarrow\mathrm{5}=\mathrm{37}{r}\Rightarrow{r}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{37}} \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byjohn santu last updated on 27/Jan/20 | ||
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{the}\:\mathrm{option}\: \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$ | ||
Commented byjohn santu last updated on 27/Jan/20 | ||
$$\mathrm{may}\:\mathrm{be}\:\mathrm{it}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{in}\:\mathrm{my}\:\mathrm{book}\:\mathrm{wrong} \\ $$ | ||
Commented byjohn santu last updated on 27/Jan/20 | ||
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mr}\:\mathrm{Mind}\:\mathrm{is}\:\mathrm{power},\:\mathrm{W} \\ $$ | ||
Commented bymind is power last updated on 27/Jan/20 | ||
$${withe}\:{pleasur}\: \\ $$ | ||
Answered by mr W last updated on 27/Jan/20 | ||
$${ar}^{{k}} ,{x}_{{m}+\mathrm{1}} ,{x}_{{m}+\mathrm{2}} ,...,{x}_{{m}+\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)} ,{ar}^{{k}+\mathrm{1}} \:{are}\:{AP} \\ $$ $${with}\:{m}=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}\left({j}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}×\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}={k}\left({k}+\mathrm{1}\right) \\ $$ $${say}\:{this}\:{AP}\:{is}: \\ $$ $${b}_{\mathrm{0}} ,{b}_{\mathrm{1}} ,...,{b}_{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)} ,{b}_{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} \\ $$ $$\Sigma{b}=\frac{\left({b}_{\mathrm{0}} +{b}_{\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}=\left({k}+\mathrm{2}\right)\left({ar}^{{k}} +{ar}^{{k}+\mathrm{1}} \right) \\ $$ $$\Sigma{b}={ar}^{{k}} +\Sigma{x}+{ar}^{{k}+\mathrm{1}} =\left({k}+\mathrm{2}\right)\left({ar}^{{k}} +{ar}^{{k}+\mathrm{1}} \right) \\ $$ $$\Rightarrow\Sigma{x}=\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({ar}^{{k}} +{ar}^{{k}+\mathrm{1}} \right)={a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right){r}^{{k}} \\ $$ $$\Rightarrow\underset{{all}} {\sum}{x}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right){r}^{{k}} \\ $$ $$\Rightarrow\underset{{all}} {\sum}{x}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{{r}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{kr}^{{k}} \\ $$ $$\Rightarrow\underset{{all}} {\sum}{x}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{{r}}{S} \\ $$ $${S}=\mathrm{1}{r}+\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{r}^{\mathrm{3}} +... \\ $$ $${rS}=\mathrm{1}{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{r}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{r}^{\mathrm{4}} +... \\ $$ $${S}−{rS}={r}+{r}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{3}} +...=\frac{{r}}{\mathrm{1}−{r}} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−{r}\right){S}=\frac{{r}}{\mathrm{1}−{r}} \\ $$ $${S}=\frac{{r}}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\Rightarrow\underset{{all}} {\sum}{x}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{{r}}×\frac{{r}}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\Rightarrow\frac{{a}\left(\mathrm{1}+{r}\right)}{\left(\mathrm{1}−{r}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}×\frac{{a}}{\mathrm{1}−{r}} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}+{r}}{\mathrm{1}−{r}}=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{16}+\mathrm{16}{r}=\mathrm{21}−\mathrm{21}{r} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{37}{r}=\mathrm{5} \\ $$ $$\Rightarrow{r}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{37}} \\ $$ | ||