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Question Number 83638 by bshahid010@gmail.com last updated on 04/Mar/20

Answered by TANMAY PANACEA last updated on 05/Mar/20

S=(1/(x+1))+(2/(x^2 +1))+(4/(x^4 +1))+...+(2^n /(x^2^n +1)) (i think) S=Σ_(n=0) ^n (2^n /(x^2^n +1)) total (n+1)terms S−(1/(x−1))=((1/(x+1))−(1/(x−1)))+(2/(x^2 +1))+(4/(x^4 +1))+..+(2^n /(x^2^n +1)) S−(1/(x−1))=(((−2)/(x^2 −1))+(2/(x^2 +1)))+(4/(x^4 +1))+..+(2^n /(x^2^n +1)) s−(1/(x−1))=(((−4)/(x^4 −1))+(4/(x^4 +1)))+..+((2^n /(x^2^n +1))) S−(1/(x−1))=(((−8)/(x^8 −1)))+...+((2^n /(x^2^n +1))) ..... ...... S−(1/(x−1))=(((−2^(n+1) )/(x^2^(n+1) −1))) S=(1/(x−1))−(2^(n+1) /(x^2^(n+1) −1))

$${S}=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+...+\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}}\:\left({i}\:{think}\right) \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}}\:{total}\:\left({n}+\mathrm{1}\right){terms} \\ $$$${S}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+..+\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}} \\ $$$${S}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\left(\frac{−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+..+\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}} \\ $$$${s}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\left(\frac{−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\right)+..+\left(\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}}\right) \\ $$$${S}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\left(\frac{−\mathrm{8}}{{x}^{\mathrm{8}} −\mathrm{1}}\right)+...+\left(\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{1}}\right) \\ $$$$..... \\ $$$$...... \\ $$$${S}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\left(\frac{−\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\boldsymbol{{S}}=\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }{{x}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } −\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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