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Question Number 8373 by arinto27 last updated on 09/Oct/16

Commented by ridwan balatif last updated on 09/Oct/16

1.f(x)=3^(x−1) ⇔y=3^(x−1)         logy=log3^(x−1)         logy=(x−1)log3      ^3 logy=(x−1)                x=1+^3 logy             f^(−1) (x)=1+^3 logy             f^(−1) (81)=1+^3 log81=1+^3 log3^4 =5  3.f(x)=2x−1 dan g(x)=3x^2 −x+5     (gof)(x)=g(f(x))                        =g(2x−1)                        =3(2x−1)^2 −(2x−1)+5                        =3(4x^2 −4x+1)−(2x−1)+5                        =12x^2 −14x+3

$$\mathrm{1}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \Leftrightarrow\mathrm{y}=\mathrm{3}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{logy}=\mathrm{log3}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{logy}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{log3} \\ $$$$\:\:\:\:\:^{\mathrm{3}} \mathrm{logy}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}+^{\mathrm{3}} \mathrm{logy} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}+^{\mathrm{3}} \mathrm{logy} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{81}\right)=\mathrm{1}+^{\mathrm{3}} \mathrm{log81}=\mathrm{1}+^{\mathrm{3}} \mathrm{log3}^{\mathrm{4}} =\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{3}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\mathrm{dan}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{g}{o}\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{g}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}+\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$

Commented by sandy_suhendra last updated on 09/Oct/16

2) (f o g)(x) = x^2 −3x+3         f ((1/3)x^2 −x−2) = x^2 −3x+3         f ((1/3)x^2 −x−2) = 3((1/3)x^2 −x−2)+9  so    f(x) = 3x+9

$$\left.\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{f}\:\mathrm{o}\:\mathrm{g}\right)\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{so}\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{3x}+\mathrm{9} \\ $$

Answered by ridwan balatif last updated on 09/Oct/16

2.g(x)=(1/3)x^2 −x−2 dan (fog)(x)=x^2 −3x+3      (fog(x))=f(g(x))  x^2 −3x+3 =f((1/3)x^2 −x−2)...(1)  misalkan:(1/3)x^2 −x−2=a  (1/3)x^2 −x=a+2  x^2 −3x=3a+6  (x−(3/2))^2 =3a+6  x=(3/2)±(√(3a+6))  substitusi nilai x ke pers(1)  ((3/2)±(√(3a+6)))^2 −3((3/2)±(√(3a+6)))+3=f(a)  sederhanakan bentuk persamaan diatas  setelah disederhanakan tukarkan a menjadi x

$$\mathrm{2}.\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\mathrm{dan}\:\left(\mathrm{f}{o}\mathrm{g}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{f}{o}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\:=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)...\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{misalkan}:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{a} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}=\mathrm{a}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}=\mathrm{3a}+\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3a}+\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\mathrm{3a}+\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{substitusi}\:\mathrm{nilai}\:\mathrm{x}\:\mathrm{ke}\:\mathrm{pers}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\mathrm{3a}+\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\mathrm{3a}+\mathrm{6}}\right)+\mathrm{3}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{sederhanakan}\:\mathrm{bentuk}\:\mathrm{persamaan}\:\mathrm{diatas} \\ $$$$\mathrm{setelah}\:\mathrm{disederhanakan}\:\mathrm{tukarkan}\:\mathrm{a}\:\mathrm{menjadi}\:\mathrm{x} \\ $$

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