Question Number 83774 by jagoll last updated on 06/Mar/20 | ||
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:−\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{8}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $${have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{a}\:\leqslant\:{x}\:<\:{b}.\: \\ $$ $${what}\:{is}\:{b}\:?\: \\ $$ | ||
Answered by john santu last updated on 06/Mar/20 | ||
$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:−\mathrm{3log}_{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{8}\:>\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{let}\:\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{t}\:,\:\mathrm{t}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{2t}\:−\:\mathrm{3}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{8}\:>\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\:−\mathrm{2t}\:−\:\mathrm{8}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2t}\:−\mathrm{5}\:<\:\mathrm{0}\: \\ $$ $$\left(\mathrm{3t}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\:<\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}\:<\:\mathrm{t}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$ $$\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\&\:\left(\mathrm{ii}\right)\: \\ $$ $$\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{t}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\:\leqslant\:\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}\:<\:\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{9}} \\ $$ $$\mathrm{1}\:\leqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}\:<\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \:\leqslant\:{x}\:<\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}} \\ $$ $$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{b}\:=\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}} \:\Leftarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution} \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byjagoll last updated on 06/Mar/20 | ||
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mister} \\ $$ | ||