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Question Number 83864 by jagoll last updated on 07/Mar/20

what Maclaurin series of function tan (x)?

$$\mathrm{what}\:\mathrm{Maclaurin}\:\mathrm{series}\:\mathrm{of}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{x}\right)? \\ $$

Commented by niroj last updated on 07/Mar/20

Solution: let, f(x)=tan x , f_0 (0)=0 f_1 (x)= sec^2 x , f_1 (0)=1 f_2 (x)= 2secx.secx.tan x , f_2 (0)=0 = 2sec^2 xtanx f_3 (x)= 4sec^2 x.tan^2 x+2sec^4 x , f_3 (0)=2 f_4 (x)=8sec^2 xtan^3 x+8sec^4 x.tanx. , f_4 (0)=0 f_5 (x)= 16sec^2 xtan^4 x.+8sec^2 x.3tan^2 x.sec^2 x+ 32sec^3 x.sec x tan^2 x+8sec^6 x , f_5 (0)=8 now, we know maclaurin′s series of expansion: f(x)= f(0)+(x/(1!))f_1 (0)+(x^2 /(2!))f_2 (0)+(x^3 /(3!))f_3 (0)+(x^4 /(4!))f_4 (0)+(x^5 /(5!))f_5 (0) tan x =0+ x.(1)+(x^2 /2)(0)+ (x^3 /6).(2)+(x^4 /(24))(0)+(x^5 /(120)).(8) = x+(1/3)x^3 +(2/(15))x^5 +..... hence proved maclaurin′s function of tan x.

$$\:\mathrm{Solution}: \\ $$$$\:\:\mathrm{let},\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:\:,\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:\:,\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{2secx}.\mathrm{secx}.\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:\:,\:\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xtanx} \\ $$$$\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{4sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}+\mathrm{2sec}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\:\:,\:\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{f}_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{8sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xtan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}+\mathrm{8sec}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}.\mathrm{tanx}.\:,\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{f}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{16sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xtan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}.+\mathrm{8sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{32sec}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}.\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}+\mathrm{8sec}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}\:\:\:\:,\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\:\mathrm{now},\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{maclaurin}'\mathrm{s}\:\mathrm{series}\:\mathrm{of} \\ $$$$\:\mathrm{expansion}: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}!}\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\mathrm{f}_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}!}\mathrm{f}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{0}+\:\mathrm{x}.\left(\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)+\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}.\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{24}}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{120}}.\left(\mathrm{8}\right) \\ $$$$\:=\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}}\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \:+..... \\ $$$$\:\mathrm{hence}\:\mathrm{proved}\:\mathrm{maclaurin}'\mathrm{s}\:\mathrm{function} \\ $$$$\:\mathrm{of}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by jagoll last updated on 07/Mar/20

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by niroj last updated on 07/Mar/20

you must welcome sir.

$${you}\:{must}\:{welcome}\:{sir}. \\ $$

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