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Question Number 83899 by john santu last updated on 07/Mar/20

$$\mathrm{Defined}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{such}$$ $$\mathrm{that}\mathrm{f}(1-\mathrm{x})+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{nx}$$ $$\mathrm{for}\mathrm{m},\mathrm{n}>1,\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}$$ $$\int \underset{1}{\stackrel{\mathrm{m}}{}}(2\mathrm{n}+6\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{x}}\right))\mathrm{dx}\mathrm{is}...$$

Commented byjohn santu last updated on 07/Mar/20

$$\mathrm{replace}1-\mathrm{x}\mathrm{by}\mathrm{x}\mathrm{in}\mathrm{eq}1$$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}(1-\mathrm{x})=\mathrm{n}(1-\mathrm{x})\left(\mathrm{eq}2\right)$$ $$\Rightarrow 4\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}(1-\mathrm{x})=2\mathrm{nx}$$ $$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}(1-\mathrm{x})=\mathrm{n}-\mathrm{nx}$$ $$\mathrm{substract}\left(1\right)\mathrm{by}\left(2\right)$$ $$3\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{nx}-\mathrm{n}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{nx}-\frac{\mathrm{n}}{3}$$ $$\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{n}}{3}$$ $$\int \underset{1}{\stackrel{\mathrm{m}}{}}(2\mathrm{n}+6(\frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{n}}{3}))\mathrm{dx}=$$ $$\int \underset{1}{\stackrel{\mathrm{m}}{}}(2\mathrm{n}+\frac{6\mathrm{mn}}{\mathrm{x}}-2\mathrm{n})\mathrm{dx}=\mathrm{m}\ln {\left(\mathrm{m}\right)}^{6\mathrm{n}}$$ $$$$ $$$$

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