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Question Number 8466 by FilupSmith last updated on 12/Oct/16

t=n^3 −n^2 t∈E Give a general form solving for n i.e n^3 −n^2 =2k n=?

$${t}={n}^{\mathrm{3}} −{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$${t}\in\mathbb{E} \\ $$$$\mathrm{Give}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{form}\:\mathrm{solving}\:\mathrm{for}\:{n} \\ $$$${i}.{e} \\ $$$${n}^{\mathrm{3}} −{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{k} \\ $$$${n}=? \\ $$

Commented by Rasheed Soomro last updated on 12/Oct/16

n^3 −n^2 ∈E⇒ { ((n^3 ∈E ∧ n^2 ∈E ⇒ n∈E)),(( OR)),((n^3 ∈O ∧ n^2 ∈O⇒n∈O)) :} n∈E, Let n=2k, n^3 −n^2 =(2k)^3 −(2k)^2 =8k^3 −4k^2 =4k^2 (2k−1) n∈O, Let n=2k+1, n^3 −n^2 =(2k+1)^3 −(2k+1)^2 =(2k+1)^2 (2k+1−1)=2k(2k+1)^2 If n^3 −n is of 4k^2 (2k−1) type then n∈E If n^3 −n^(2 ) is of 2k(2k+1)^2 type then n∈O

$$\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\in\mathbb{E}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \in\mathbb{E}\:\:\:\wedge\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \in\mathbb{E}\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{n}\in\mathbb{E}}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{OR}}\\{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \in\mathbb{O}\:\:\:\:\wedge\:\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \in\mathbb{O}\Rightarrow\mathrm{n}\in\mathbb{O}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{n}\in\mathbb{E},\:\mathrm{Let}\:\mathrm{n}=\mathrm{2k},\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{8k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{n}\in\mathbb{O},\:\mathrm{Let}\:\mathrm{n}=\mathrm{2k}+\mathrm{1},\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{type}\:\mathrm{then}\:\mathrm{n}\in\mathbb{E} \\ $$$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}\:\:} \mathrm{is}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{type}\:\mathrm{then}\:\mathrm{n}\in\mathbb{O} \\ $$

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