Question Number 85142 by M±th+et£s last updated on 19/Mar/20
![show that ∫_0 ^n [x^2 ]dx =n(n^2 −1)−Σ_(k=1) ^(n^2 −1) (√k)](Q85142.png)
$${show}\:{that} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left[{x}^{\mathrm{2}} \right]{dx}\:={n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}}\: \\ $$
Answered by mind is power last updated on 19/Mar/20
![x^2 =t⇒dx=(dt/(2(√t))) ∫_0 ^n^2 (([t].dt)/(2(√t))) =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) ∫_k ^(k+1) (([t]dt)/(2(√t))) =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) ∫_k ^(k+1) (k/(2(√t)))dt =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) k[(√t)]_k ^(k+1) =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) [k(√(k+1))−k(√k)] =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) [(k+1)(√(k+1))−(√(k+1))−k(√k)] =Σ_(k=0) ^(n^2 −1) [(k+1)(√(k+1))−k(√k)]−Σ_(k=0) ^(n^2 −1) (√(k+1)) Σ_(k=p) ^r (a_(k+1) −a_k )=a_(r+1) −a_p ⇒Σ_(k=0) ^(n^2 −1) ((k+1)(√(k+1))−k(√k))=n^3 j=k+1⇒Σ_(k=0) ^(n^2 −1) (√k)=Σ_(j=1) ^n^2 (√j)⇒ =n^3 −Σ_(j=1) ^n^2 (√j)=n^3 −Σ_(j=1) ^(n^2 −1) (√j)−n =n(n^2 −1)−Σ_(j=1) ^(n^2 −1) (√j) =n(n^2 −1)−H_(n^2 −1) ^((−(1/2)))](Q85152.png)
$${x}^{\mathrm{2}} ={t}\Rightarrow{dx}=\frac{{dt}}{\mathrm{2}\sqrt{{t}}} \\ $$$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}^{\mathrm{2}} } \frac{\left[{t}\right].{dt}}{\mathrm{2}\sqrt{{t}}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{\left[{t}\right]{dt}}{\mathrm{2}\sqrt{{t}}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{{k}}{\mathrm{2}\sqrt{{t}}}{dt} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}{k}\left[\sqrt{{t}}\right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left[{k}\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−{k}\sqrt{{k}}\right] \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left[\left({k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−{k}\sqrt{{k}}\right] \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left[\left({k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−{k}\sqrt{{k}}\right]−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{k}={p}} {\overset{{r}} {\sum}}\left({a}_{{k}+\mathrm{1}} −{a}_{{k}} \right)={a}_{{r}+\mathrm{1}} −{a}_{{p}} \Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left(\left({k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−{k}\sqrt{{k}}\right)={n}^{\mathrm{3}} \\ $$$${j}={k}+\mathrm{1}\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\sqrt{{j}}\Rightarrow \\ $$$$={n}^{\mathrm{3}} −\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\sqrt{{j}}={n}^{\mathrm{3}} −\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{j}}−{n} \\ $$$$={n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{j}} \\ $$$$={n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−{H}_{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} ^{\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$
Commented by M±th+et£s last updated on 19/Mar/20
$${god}\:{bless}\:{you}\:{sir}\:{thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 19/Mar/20
$${withe}\:{pleasur} \\ $$