Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Logarithms Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Logarithms      Next in Logarithms      

Question Number 85347 by jagoll last updated on 21/Mar/20

log_(0.5) ^2 (8+2x−x^2 )−7log_2 (8+2x−x^2 )<−12

$$\mathrm{log}_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{7log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)<−\mathrm{12} \\ $$

Commented byjohn santu last updated on 21/Mar/20

(i) 8+2x−x^2 > 0 x^2 −2x−8 < 0 (x−4)(x+2) < 0 −2 < x < 4 (ii) log_(0.5) ^2 (8+2x−x^2 ) = log_2 ^2 (8+2x−x^2 ) let log_2 (8+2x−x^2 ) = t ⇒ t^2 −7t+12 < 0 3 < t < 4 ⇒ 8 < 8+2x−x^2 < 16 −16 < x^2 −2x−8 <−8 −7 < x^2 −2x+1 < 1 −7 < (x−1)^2 < 1 ⇒ (x−1)^2 −1 < 0 0 < x < 2 ⇒ ∴ 0 < x < 2 ← solution

$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{8}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$−\mathrm{2}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{4}\: \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{log}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$ $$\mathrm{let}\:\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{t} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7t}+\mathrm{12}\:<\:\mathrm{0}\: \\ $$ $$\mathrm{3}\:<\:\mathrm{t}\:<\:\mathrm{4}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{8}\:<\:\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{16} \\ $$ $$−\mathrm{16}\:<\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{8}\:<−\mathrm{8} \\ $$ $$−\mathrm{7}\:<\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:<\:\mathrm{1} \\ $$ $$−\mathrm{7}\:<\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{0}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\therefore\:\mathrm{0}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{2}\:\leftarrow\:\mathrm{solution} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com