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Question Number 87069 by jagoll last updated on 02/Apr/20

((cos x−sin x)/(√(1+sin 2x))) = sec 2x−tan 2x prove it

$$\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}}\:=\:\mathrm{sec}\:\mathrm{2x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{it}\: \\ $$

Commented by jagoll last updated on 02/Apr/20

(√(1+sin 2x)) = (√((sin x+cos x)^2 )) = sin x+cos x ⇒ ((cos x−sin x)/(cos x+sin x)) = (((cos x−sin x)^2 )/(cos^2 x−sin^2 x)) = ((1−sin 2x)/(cos 2x)) = (1/(cos 2x)) − ((sin 2x)/(cos 2x)) = sec 2x − tan 2x

$$\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}\:=\:\sqrt{\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:=\:\frac{\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}\:−\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}} \\ $$$$=\:\mathrm{sec}\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{tan}\:\mathrm{2x} \\ $$

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