Question Number 8764 by tawakalitu last updated on 26/Oct/16
$$\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{given}\:\mathrm{by} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}.\mathrm{5}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}.\mathrm{7}}\:+\:...\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\:+\:\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{of}\:\:\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{as}\:\:\mathrm{n}\:\rightarrow\:\infty \\ $$
Commented by sou1618 last updated on 26/Oct/16
$${S}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)+....+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{{n}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}={lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\mathrm{1}}{\:\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by tawakalitu last updated on 26/Oct/16
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}. \\ $$