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Question Number 89768 by john santu last updated on 19/Apr/20 | ||
$${t}\left({n}\right)\:−\:{t}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:=\:{n}\:\: \\ $$ $${for}\:{n}\:>\:\mathrm{0}\:{and}\:{t}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}\: \\ $$ $${find}\:{t}\left({n}\right)\: \\ $$ | ||
Answered by john santu last updated on 19/Apr/20 | ||
Answered by mr W last updated on 19/Apr/20 | ||
$${t}\left({k}\right)−{t}\left({k}−\mathrm{1}\right)={k} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}−\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}\right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)+{t}\left({n}\right)−{t}\left(\mathrm{0}\right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$ $${t}\left({n}\right)−{t}\left(\mathrm{0}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$ $${t}\left({n}\right)={t}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Rightarrow{t}\left({n}\right)=\mathrm{1}+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||