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Question Number 8988 by Daily last updated on 10/Nov/16

prove Σ_(k=1) ^n k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3

$${prove} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$

Answered by 123456 last updated on 11/Nov/16

s(n)=Σ_(k=1) ^n k(k+1)=n(n+1)(n+2)/3 n=1 s(1)=Σ_(k=1) ^1 k(k+1)=1(1+1)=2=1(1+1)(1+2)/3 n=2 s(2)=1(1+1)+2(2+1)=2+6=8 =((2(2+1)(2+2))/3)=8 suppose its true for n, so s(n+1)=Σ_(k=1) ^(n+1) k(k+1)=Σ_(k=1) ^n k(k+1)+(n+1)(n+2) =s(n)+(n+1)(n+2) =((n(n+1)(n+2))/3)+(n+1)(n+2) =(n+1)(n+2)[(n/3)+1] =(((n+1)(n+2)(n+3))/3) =(((n+1)[(n+1)+1][(n+1)+2])/3) □ since it′s true for 1, then 1→2→3→... so its true for n∈N^∗ ■

$${s}\left({n}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{1} \\ $$$${s}\left(\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{2} \\ $$$${s}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{6}=\mathrm{8} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\mathrm{its}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n},\:\mathrm{so} \\ $$$${s}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$={s}\left({n}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left[\frac{{n}}{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right] \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left[\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]\left[\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\right]}{\mathrm{3}}\:\:\Box \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{1},\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{2}\rightarrow\mathrm{3}\rightarrow... \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{its}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \:\:\:\blacksquare \\ $$

Answered by Rasheed Soomro last updated on 11/Nov/16

Σ_(k=1) ^n k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3 For k=1 1(1+1)=1(1+1)(1+2)/3 2=2 The proposition is true for k=1 Let the proposition is true for k: Σ_(k=1) ^n k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3 Then Σ_(k=1) ^n k(k+1)+(k+1)(k+1^(−) +1)=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+1+1) Σ_(k=1) ^n (k+1)(k+1^(−) +1)=((k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2))/3) =(((k+1)(k+2)(k+3))/3) =(((k+1^(−) )(k+1^(−) +1)(k+1^(−) +2))/3) the proposition is true for k+1 Hence the proposition is true for k∈N

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{k}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Then} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3}+\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)=\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{3}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}\in\mathbb{N} \\ $$

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