Question Number 89891 by mathmax by abdo last updated on 19/Apr/20
$${calculate}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Apr/20
![let take a try I =∫_e^(−1) ^e ln(x)ln(1+x)dx we have ln^′ (1+x)=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n ⇒ln(1+x)=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(n+1) /(n+1)) =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n−1) (x^n /n) ⇒I =∫_e^− ^e ln(x)(Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n−1) (x^n /n))dx =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) ∫_e^(−1) ^e x^n ln(x)dx A_n =∫_e^(−1) ^e x^n ln(x)dx =_(bypsrts) [(x^(n+1) /(n+1))ln(x)]_e^(−1) ^e −∫_e^(−1) ^e (x^n /(n+1))dx =(1/((n+1))){e^(n+1) +(e^(−1) )^(n+1) }−(1/((n+1)))[(1/(n+1))x^(n+1) ]_e^(−1) ^e =(e^(n+1) /((n+1))) +(e^(−n−1) /(n+1))−(1/((n+1)^2 ))(e^(n+1) −e^(−n−1) ) ⇒ I =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) e^(n+1) )/(n(n+1))) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) e^(−n−1) )/(n(n+1))) −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n(n+1)^2 ))e^(n+1) −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n(n+1)^2 ))e^(−n−1) we have Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n(n+1)))e^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ ((1/n)−(1/(n+1)))(−1)^(n−1) e^(n+1) =eΣ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) e^n −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n+1))e^(n+1) =eln(1+e)+Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)e^n =eln(1+e)+ln(1+e) =(1+e)ln(1+e) let decompose F(x)=(1/(x(x+1)^2 )) =(a/x)+(b/(x+1)) +(c/((x+1)^2 )) c=−1 lim_(x→+∞) xF(x)=0=a+b ⇒b=−a ⇒ F(x)=(a/x)−(a/(x+1))−(1/((x+1)^2 )) F(1)=(1/4) =a−(a/2)−(1/4) =(a/2)−(1/4) ⇒(1/2)=(a/2) ⇒a=1 ⇒ F(x)=(1/x)−(1/(x+1))−(1/((x+1)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n(n+1)^2 )) e^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n−1) ((1/n)−(1/(n+1))−(1/((n+1)^2 )))e^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) e^(n+1) −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/(n+1)) e^(n+1) −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/((n+1)^2 ))e^(n+1) ...be continued...](Q90006.png)
$${let}\:{take}\:{a}\:{try}\:\:\:{I}\:=\int_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} \:{ln}\left({x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx} \\ $$$${we}\:{have}\:{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:{x}^{{n}} \:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:\Rightarrow{I}\:=\int_{{e}^{−} } ^{{e}} \:{ln}\left({x}\right)\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\right){dx} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:\int_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} {x}^{{n}} \:{ln}\left({x}\right){dx} \\ $$$${A}_{{n}} =\int_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} \:{x}^{{n}} {ln}\left({x}\right){dx}\:=_{{bypsrts}} \:\:\:\left[\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}{ln}\left({x}\right)\right]_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} −\int_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} \frac{{x}^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)}\left\{{e}^{{n}+\mathrm{1}} \:+\left({e}^{−\mathrm{1}} \right)^{{n}+\mathrm{1}} \right\}−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)}\left[\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \right]_{{e}^{−\mathrm{1}} } ^{{e}} \\ $$$$=\frac{{e}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{{e}^{−{n}−\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left({e}^{{n}+\mathrm{1}} \:−{e}^{−{n}−\mathrm{1}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {e}^{−{n}−\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{e}^{{n}+\mathrm{1}} −\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{e}^{−{n}−\mathrm{1}} \:\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{e}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$={e}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:{e}^{{n}} \:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}{e}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$={eln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)+\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{e}^{{n}} \\ $$$$={eln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)+{ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right)\:=\left(\mathrm{1}+{e}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{e}\right) \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{c}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${c}=−\mathrm{1} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}={a}+{b}\:\Rightarrow{b}=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:={a}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\frac{{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{e}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right){e}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:{e}^{{n}+\mathrm{1}} −\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:{e}^{{n}+\mathrm{1}} \:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{e}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$...{be}\:{continued}... \\ $$