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Question Number 89937 by ~blr237~ last updated on 20/Apr/20

Prove that for all complex such as ∣z∣<1= Σ_(n=1) ^∞ (z^n /((z^n −1)^2 )) +Σ_(n=1) ^∞ ((nz^n )/(z^n −1)) = 0

$${Prove}\:{that}\:{for}\:{all}\:{complex}\:{such}\:{as}\:\mid{z}\mid<\mathrm{1}= \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{z}^{{n}} }{\left({z}^{{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{nz}^{{n}} }{{z}^{{n}} −\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$

Commented bymathmax by abdo last updated on 20/Apr/20

we have for ∣u∣<1 Σ_(p=0) ^∞ u^p =(1/(1−u)) ⇒Σ_(p=1) ^∞ pu^(p−1) =(1/((1−u)^2 )) u=z^n ⇒(1/((1−z^n )^2 )) =Σ_(p=1) ^∞ p(z^n )^(p−1) =Σ_(p=1) ^∞ p (z^(p−1) )^n ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (z^n /((z^n −1)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ z^n Σ_(p=1) ^∞ p (z^(p−1) )^n =Σ_(p=1) ^∞ pΣ_(n=1) ^∞ (z.z^(p−1) )^n =Σ_(p=1) ^∞ pΣ_(n=1) ^∞ z^(pn) from another side Σ_(n=1) ^∞ ((nz^n )/(z^n −1)) =−Σ_(n=1) ^∞ nz^n Σ_(p=0) ^∞ z^(np) =−Σ_(p=1) ^∞ p z^p Σ_(n=0) ^∞ z^(pn) =−Σ_(p=1) ^∞ p Σ_(n=0) ^∞ z^(p(n+1) ) =−Σ_(p=1) ^∞ p Σ_(n=1) ^∞ z^(pn) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (z^n /((z^n −1)^2 )) +Σ_(n=1) ^∞ ((nz^n )/(z^n −1)) =0

$${we}\:{have}\:{for}\:\mid{u}\mid<\mathrm{1}\:\:\:\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} {u}^{{p}} \:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\:\Rightarrow\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} {pu}^{{p}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ $${u}={z}^{{n}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{z}^{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} {p}\left({z}^{{n}} \right)^{{p}−\mathrm{1}} \:=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{p}\:\left({z}^{{p}−\mathrm{1}} \right)^{{n}} \:\Rightarrow \\ $$ $$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{z}^{{n}} }{\left({z}^{{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {z}^{{n}} \sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} {p}\:\left({z}^{{p}−\mathrm{1}} \right)^{{n}} \\ $$ $$=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{p}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left({z}.{z}^{{p}−\mathrm{1}} \right)^{{n}} \:=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} {p}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{z}^{{pn}} \\ $$ $${from}\:{another}\:{side} \\ $$ $$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{nz}^{{n}} }{{z}^{{n}} −\mathrm{1}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nz}^{{n}} \:\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{z}^{{np}} \:=−\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} {p}\:{z}^{{p}} \:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{z}^{{pn}} \\ $$ $$\left.=−\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{p}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} {z}^{{p}\left({n}+\mathrm{1}\right.} \right)\:=−\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{p}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{z}^{{pn}} \:\Rightarrow \\ $$ $$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{z}^{{n}} }{\left({z}^{{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{nz}^{{n}} }{{z}^{{n}} −\mathrm{1}}\:=\mathrm{0} \\ $$ $$ \\ $$

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