Question Number 90383 by jagoll last updated on 23/Apr/20
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\: \\ $$ $$\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following} \\ $$ $$\mathrm{function}\:\mathrm{differentiable}\:\mathrm{at}\: \\ $$ $$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}}\\{\mathrm{2ax}+\mathrm{b}\:,\:\mathrm{x}>\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$
Commented byjohn santu last updated on 23/Apr/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } {\mathrm{lim}}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:{f}\left({x}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } {\mathrm{lim}}\:\left({x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{2}{ax}+{b}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2}{a}+{b}\: \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:{f}\:'_{\mathrm{1}^{−} } \left(\mathrm{1}\right)\:=\:{f}\:'_{\mathrm{1}^{+} } \:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{2}{a}\:\Rightarrow\:{a}\:=\:\mathrm{1}\:\wedge\:{b}\:=\:−\mathrm{1} \\ $$