Question Number 91068 by Maclaurin Stickker last updated on 27/Apr/20
$${Find}\:{the}\:{sum} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }}+...+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{999}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1000}^{\mathrm{2}} }} \\ $$
Answered by mr W last updated on 28/Apr/20
$$\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{999}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\mathrm{998}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1000}} \\ $$