Question Number 9236 by tawakalitu last updated on 24/Nov/16
$$\mathrm{Solve}\:\:\mathrm{simultaneously} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}_{\:} }\:+\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:.............\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:...........\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$
Answered by RasheedSoomro last updated on 25/Nov/16
$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}_{\:} }\:+\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:.............\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:...........\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}+\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{6}+\mathrm{3x}+\mathrm{3y}=\mathrm{5xy}+\mathrm{5x}+\mathrm{5y}+\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{5xy}+\mathrm{2x}+\mathrm{2y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{5y}+\mathrm{2}\right)=−\mathrm{2y}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{\mathrm{5y}+\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\left(\frac{−\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{\mathrm{5y}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\left(−\mathrm{2y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{5y}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{5y}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4y}+\mathrm{1}+\mathrm{5y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10y}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{5y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14y}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Continue} \\ $$
Commented by tawakalitu last updated on 25/Nov/16
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by RasheedSoomro last updated on 26/Nov/16
![(x/(y+1))+(y/(x+1))=(5/3) [x≠−1,y≠−1] x^2 +y^2 =2 −−−−−−−−− Let x+1=X, y+1=Y (i)⇒((X−1)/Y)+((Y−1)/X)=(5/3) [X≠0 , Y≠0] X^2 −X+Y^2 −Y=(5/3)XY X^2 +Y^2 −(X+Y)=(5/3)XY (ii)⇒(X−1)^2 +(Y−1)^2 =2 X^2 −2X+1+Y^2 −2Y+1=2 X^2 +Y^2 −2(X+Y)=0 X+Y=((X^2 +Y^2 )/2) X^2 +Y^2 −(X+Y)=(5/3)XY ⇒ X^2 +Y^2 −((X^2 +Y^2 )/2)=(5/3)XY 6X^2 +6Y^2 −3X^2 −3Y^2 =10XY 3X^2 −10XY+3Y^2 =0 3X^2 −XY−9XY+3Y^2 =0 X(3X−Y)−3Y(3X−Y)=0 (3X−Y)(X−3Y)=0 3X=Y ∣ X=3Y Case-1 Y=3X X+Y=((X^2 +Y^2 )/2)⇒X+3X=((X^2 +(3X)^2 )/2) 8X=10X^2 4X=5X^2 4X−5X^2 =0 [Dividing by X, as X≠0] 4−5X=0 X=(4/5) X+Y=((X^2 +Y^2 )/2) ⇒(4/5)+Y=(((4/5)^2 +Y^2 )/2) ⇒8+10Y=5(((16)/(25))+Y^2 )=((16)/5)+5Y^2 ⇒40+50Y=16+25Y^2 ⇒25Y^2 −50Y−24=0 ⇒Y=((50±(√(50^2 −4(25)(−24))))/(2(25)))=((50±70)/(50)) ⇒Y=2(2/5) ∣ Y=−(2/5) Solution set for (X,Y):{((4/5),2(2/5)),((4/5),− (2/5))} As x=X−1 , y=Y−1 , so Solution set for (x,y):{(−(1/5),1(2/5)),(−(1/5),− (7/5))} BUT (− (1/5),− (7/5)) doesn′t satisfy one of the given equations. S it′s an extraneous root. Hence the solution set is {(−(1/5),1(2/5))} By Case-2 it can be seen that (1(2/5),− (1/5)) is also a solution. Finally {(−(1/5),1(2/5)), (1(2/5),− (1/5))} is solution set.](Q9253.png)
$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\left[\mathrm{x}\neq−\mathrm{1},\mathrm{y}\neq−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{X},\:\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{Y} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{X}−\mathrm{1}}{\mathrm{Y}}+\frac{\mathrm{Y}−\mathrm{1}}{\mathrm{X}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\left[\mathrm{X}\neq\mathrm{0}\:,\:\mathrm{Y}\neq\mathrm{0}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{X}+\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{XY} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{X}+\mathrm{Y}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{XY} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{X}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{Y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2X}+\mathrm{1}+\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2Y}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{X}+\mathrm{Y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}+\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{X}+\mathrm{Y}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{XY} \\ $$$$\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{XY} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{6X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6Y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10XY} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10XY}+\mathrm{3Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{XY}−\mathrm{9XY}+\mathrm{3Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}\left(\mathrm{3X}−\mathrm{Y}\right)−\mathrm{3Y}\left(\mathrm{3X}−\mathrm{Y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3X}−\mathrm{Y}\right)\left(\mathrm{X}−\mathrm{3Y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3X}=\mathrm{Y}\:\:\:\:\mid\:\:\:\:\:\mathrm{X}=\mathrm{3Y} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{Y}=\mathrm{3X} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{X}+\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{X}+\mathrm{3X}=\frac{\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3X}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{8X}=\mathrm{10X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{4X}=\mathrm{5X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{4X}−\mathrm{5X}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\:\:\:\left[\mathrm{Dividing}\:\mathrm{by}\:\mathrm{X},\:\mathrm{as}\:\mathrm{X}\neq\mathrm{0}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{5X}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{X}+\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}+\mathrm{Y}=\frac{\left(\mathrm{4}/\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{8}+\mathrm{10Y}=\mathrm{5}\left(\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{25}}+\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} \right)=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{5}}+\mathrm{5Y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{40}+\mathrm{50Y}=\mathrm{16}+\mathrm{25Y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{25Y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{50Y}−\mathrm{24}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{50}\pm\sqrt{\mathrm{50}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{25}\right)\left(−\mathrm{24}\right)}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{25}\right)}=\frac{\mathrm{50}\pm\mathrm{70}}{\mathrm{50}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{Y}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\:\:\mid\:\:\mathrm{Y}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{for}\:\left(\mathrm{X},\mathrm{Y}\right):\left\{\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}},\mathrm{2}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right),\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}},−\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{As}\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{X}−\mathrm{1}\:\:,\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{Y}−\mathrm{1}\:,\:\:\mathrm{so} \\ $$$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{for}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right):\left\{\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right),\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},−\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}}\right)\right\} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{BUT}}\:\left(−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},−\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}}\right)\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given} \\ $$$$\mathrm{equations}.\:\mathrm{S}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{an}\:\boldsymbol{\mathrm{extraneous}}\:\boldsymbol{\mathrm{root}}.\:\mathrm{Hence}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{is}\:\left\{\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{Case}-\mathrm{2}\:\mathrm{it}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{seen}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}},−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{also} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$\mathrm{Finally}\:\left\{\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right),\:\left(\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}},−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)\right\}\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{set}. \\ $$
Commented by tawakalitu last updated on 26/Nov/16
$$\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}. \\ $$