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Question Number 92889 by i jagooll last updated on 09/May/20

learning distancing ∫ ln((√(1+x))+(√(1−x))) dx

$$\mathrm{learning}\:\mathrm{distancing} \\ $$$$\int\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:\mathrm{dx} \\ $$

Commented by john santu last updated on 09/May/20

u = ln((√(1+x)) +(√(1−x))) du = (((1/(2(√(1+x))))−(1/(2(√(1−x)))))/((√(1+x))+(√(1−x)))) dx du = (1/2){(((√(1−x))−(√(1+x)))/((√(1−x^2 ))((√(1+x))+(√(1−x)))))} dx du=(1/2){((2−(√(1−x^2 )))/(2x(√(1−x^2 ))))} dx I = x ln((√(1+x))+(√(1−x)))−(1/4)∫ ((2−(√(1−x^2 )))/(√(1−x^2 ))) dx I = x ln((√(1+x))+(√(1−x))) +(1/4)x −(1/4)∫ (2/(√(1−x^2 ))) dx I = x ln((√(1+x))+(√(1−x))) +(1/4)x − (1/2)sin^(−1) (x) + c

$$\mathrm{u}\:=\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{du}\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{du}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)}\right\}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right\}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}\: \\ $$$$−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$

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