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Question Number 93258 by john santu last updated on 12/May/20

Commented by john santu last updated on 12/May/20

lim_(x→0) ((3sin x−4sin^3 x+4sin^3 x−3ln(1+x))/((e^x −1)sin x)) lim_(x→0) ((3sin x−3ln(1+x))/((e^x −1)sin x)) = 3 lim_(x→0) ((cos x−((1/(1+x))))/(e^x sin x+(e^x −1)cos x)) 3 lim_(x→0) ((−sin x+(1/((1+x)^2 )))/(e^x cos x+e^x sin x−(e^x −1)sin x+e^x cos x)) = 3 lim_(x→0) ((−sin x+(1/((1+x)^2 )))/(2e^x cos x+sin x)) = (3/2)

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{3ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{3ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:= \\ $$$$\mathrm{3}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{3}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:=\: \\ $$$$\mathrm{3}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\: \\ $$

Answered by niroj last updated on 12/May/20

_(x→0) ^(lim) (( sin3x+4sin^3 x−3ln(1+x))/((e^x −1)sin x)) Indeterminant form (0/0) By L^′ hospital rule , = _(x→0) ^(lim ) (( 3cos3x +12sin^2 x.cos x−3.(1/(1+x)))/(e^x cos x+e^x sin x−cosx)) form (0/0) = _(x→0) ^(lim) ((−9sin3x −12sin^2 x.sinx+24cos^2 xsinx.+(3/((1+x)^2 )))/(−e^x sinx+e^x cos x+e^x cos x+e^x sin x +sinx)) = (3/2) //.

$$\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{lim}} {\:}}\:\frac{\:\:\mathrm{sin3x}+\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{3ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{Indeterminant}\:\mathrm{form}\:\:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}} \\ $$$$\:\mathrm{By}\:\mathrm{L}^{'} \mathrm{hospital}\:\mathrm{rule}\:, \\ $$$$\:=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{lim}\:} {\:}}\:\frac{\:\mathrm{3cos3x}\:+\mathrm{12sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{3}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cosx}}\:\:\:\mathrm{form}\:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}} \\ $$$$\:\:=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{lim}} {\:}}\:\frac{−\mathrm{9sin3x}\:−\mathrm{12sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{sinx}+\mathrm{24cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{xsinx}.+\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }}{−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{sinx}} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\://. \\ $$

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