Question Number 9342 by FilupSmith last updated on 01/Dec/16
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:{n} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} \geqslant{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1} \\ $$
Answered by mrW last updated on 02/Dec/16
![n^3 −n^2 −1≤0 we try to solve the equation ax^3 +bx^2 +cx+d=0 with a=1, b=−1, c=0, d=−1 Δ=b^2 −3ac=(−1)^2 −3×1×0=1 k=((9abc−2b^3 −27a^2 d)/(2(√(∣Δ∣^3 ))))=((2+27)/2)=((29)/2)>0 since Δ>0 and ∣k∣>1 there is a single real root: x_1 =(1/3)(^3 (√(((29)/2)+(√((((29)/2))^2 −1))))+^3 (√(((29)/2)−(√((((29)/2))^2 −1)))))+(1/3) =(1/3)[1+^3 (√((29+3(√(93)))/2))+^3 (√((29−3(√(93)))/2))] ≈1.46557123187677 n^3 −n^2 −1=n^3 (1−(1/n^2 )−(1/n^3 )) lim_(n→+∞) n^3 (1−(1/n^2 )−(1/n^3 ))=+∞ lim_(n→−∞) n^3 (1−(1/n^2 )−(1/n^3 ))=−∞ hence the solution of the inequation n^3 −n^2 −1≤0 is n≤x_1 ≈1.46557123187677](Q9344.png)
$$\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{a}=\mathrm{1},\:\mathrm{b}=−\mathrm{1},\:\mathrm{c}=\mathrm{0},\:\mathrm{d}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Delta=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ac}=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}×\mathrm{1}×\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{\mathrm{9abc}−\mathrm{2b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27a}^{\mathrm{2}} \mathrm{d}}{\mathrm{2}\sqrt{\mid\Delta\mid^{\mathrm{3}} }}=\frac{\mathrm{2}+\mathrm{27}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{since}\:\Delta>\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{k}\mid>\mathrm{1}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{single}\:\mathrm{real}\:\mathrm{root}: \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\left(\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}+\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\left(\frac{\mathrm{29}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{1}+\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{29}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{93}}}{\mathrm{2}}}+\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{29}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{93}}}{\mathrm{2}}}\right] \\ $$$$\approx\mathrm{1}.\mathrm{46557123187677} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right)=+\infty \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right)=−\infty \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequation} \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{n}\leqslant\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \approx\mathrm{1}.\mathrm{46557123187677} \\ $$