Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 93434 by naka3546 last updated on 13/May/20

Commented by naka3546 last updated on 13/May/20

AT^( 2) +BT^( 2)  = 3312  CT^( 2) +DT^( 2)  = 3308  Radius  of  circle  is ... ?

$${AT}^{\:\mathrm{2}} +{BT}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3312} \\ $$$${CT}^{\:\mathrm{2}} +{DT}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3308} \\ $$$${Radius}\:\:{of}\:\:{circle}\:\:{is}\:...\:? \\ $$

Answered by 1549442205 last updated on 13/May/20

Denote K,I be the midpoints of AB and CD  respectively.Putting AB=2a,CD=2b,KT=x  IT=y.We have (a+x)^2 +(a−x)^2  =3312 and (b+y)^2   +(b−y)^2  3308 or a^2 +x^2 =1656(1) and  b^2 +y^2 =1654(2).On the other hands,by the  relations in the circle we have TA.TB=TC.TD  =R^2 − TO^2  (3).From(1) and(2)have   a^2 +b^2 +x^2 +y^2 =3310(∗).We have also TO^2 =x^2 +y^2    Therefore,we have (3)  ⇔(a+x)(a−x)=(b+y)(b−y)=R^2 −(x^2 +y^2 )  ⇔a^2 −x^2 =b^2 −y^2 =R^2 −(x^2 +y^2 )⇒R^2 =a^2 +y^2   =b^2 +x^2 ⇒R^2 =((a^2 +b^2 +x^2 +y^2 )/2)=1655(by(∗))  Hence R=(√( 1655))

$$\mathrm{Denote}\:\mathrm{K},\mathrm{I}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{midpoints}\:\mathrm{of}\:\mathrm{AB}\:\mathrm{and}\:\mathrm{CD} \\ $$$$\mathrm{respectively}.\mathrm{Putting}\:\mathrm{AB}=\mathrm{2a},\mathrm{CD}=\mathrm{2b},\mathrm{KT}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{IT}=\mathrm{y}.\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{3312}\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{b}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\left(\mathrm{b}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{3308}\:\mathrm{or}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1656}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1654}\left(\mathrm{2}\right).\mathrm{On}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{hands},\mathrm{by}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{relations}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{TA}.\mathrm{TB}=\mathrm{TC}.\mathrm{TD} \\ $$$$=\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{TO}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{3}\right).\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3310}\left(\ast\right).\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{also}\:\mathrm{TO}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{b}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\Rightarrow\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\mathrm{1655}\left(\mathrm{by}\left(\ast\right)\right) \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{R}=\sqrt{\:\mathrm{1655}} \\ $$$$ \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com