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Question Number 9367 by tawakalitu last updated on 02/Dec/16

Solve simultaneously. 3x^2 + 4xy + 3y^2 = 3 ......... (i) x^2 + y^2 + 3x + 3y = 4 ....... (ii)

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{simultaneously}. \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{4xy}\:+\:\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}\:\:\:.........\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3x}\:+\:\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{4}\:\:\:\:.......\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$

Answered by mrW last updated on 02/Dec/16

3(x^2 +y^2 +2xy)−2xy=3 3(x+y)^2 −2xy=3 .....(i) x^2 +y^2 +2xy+3(x+y)−2xy=4 (x+y)^2 +3(x+y)−2xy=4 .....(ii) u=x+y v=xy 3u^2 −2v=3 .....(i) u^2 +3u−2v=4 3u^2 +9u−6v=12 − (i): 9u−4v=9 .....(ii) v=((9(u−1))/4) 3u^2 −2×9(((u−1)/4))=3 3u^2 −(9/2)u+(3/2)=0 u^2 −(3/2)u+(1/2)=0 (u−1)(u−(1/2))=0 u=(1, (1/2)) v=(0, −(9/8)) x+y=u y=u−x xy=v x(u−x)=v x^2 −ux+v=0 x=((u±(√(u^2 −4v)))/2) y=((u∓(√(u^2 −4v)))/2) for u=1, v=0: x=((1±1)/2)=(1, 0) y=(0, 1) for u=(1/2), v=−(9/8): x=(((1/2)±(√(((1/2))^2 +4×(9/8))))/2)=((1±(√(19)))/4)=(((1+(√(19)))/4), ((1−(√(19)))/4)) y=(((1−(√(19)))/4), ((1+(√(19)))/4)) all solutions together: x=(1, 0, ((1+(√(19)))/4), ((1−(√(19)))/4)) y=(0, 1, ((1−(√(19)))/4), ((1+(√(19)))/4))

$$\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}=\mathrm{3}\:\:\:\:\:.....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{4}\:\:\:\:.....\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{v}=\mathrm{xy} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2v}=\mathrm{3}\:\:\:.....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3u}−\mathrm{2v}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9u}−\mathrm{6v}=\mathrm{12} \\ $$$$−\:\left(\mathrm{i}\right): \\ $$$$\mathrm{9u}−\mathrm{4v}=\mathrm{9}\:\:\:.....\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{9}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{9}\left(\frac{\mathrm{u}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}=\left(\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{v}=\left(\mathrm{0},\:−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{u}−\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{xy}=\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{u}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ux}+\mathrm{v}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{u}\pm\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{u}\mp\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{u}=\mathrm{1},\:\mathrm{v}=\mathrm{0}: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{1},\:\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{0},\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}×\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}=\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{together}: \\ $$$$\mathrm{x}=\left(\mathrm{1},\:\mathrm{0},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$

Commented by tawakalitu last updated on 03/Dec/16

Thank you sir. God bless you.

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}. \\ $$

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