Question Number 94174 by i jagooll last updated on 17/May/20 | ||
$$\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}\:=\:\mathrm{10}}\\{\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{x}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{y}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\mathrm{xy}}}\end{cases}\: \\ $$ $$\mathrm{find}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}?? \\ $$ | ||
Commented bybehi83417@gmail.com last updated on 17/May/20 | ||
$$\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\mathrm{6}} ,\mathrm{y}=\mathrm{s}^{\mathrm{6}} \\ $$ $$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{s}^{\mathrm{6}} =\mathrm{10}}\\{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ts}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{4}} \right)=\mathrm{10}}\\{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ts}}\end{cases} \\ $$ $$\Rightarrow\begin{cases}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\left[\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right]=\mathrm{10}}\\{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ts}}\end{cases} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ts}\left(\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{10}\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \mathrm{s}^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{13}} \\ $$ $$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{s}^{\mathrm{6}} =\mathrm{10}}\\{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} .\mathrm{s}^{\mathrm{6}} =\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}}\end{cases}\:\:\:\:\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{z}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\boldsymbol{\mathrm{z}}+\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{z}}=\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{6}} \vee\boldsymbol{\mathrm{s}}^{\mathrm{6}} \right)=\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{25}−\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}}=\mathrm{5}\pm\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{13}} \\ $$ $$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\mathrm{6}} =\mathrm{5}\pm\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{13}}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{s}^{\mathrm{6}} =\mathrm{5}\pm\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{13}}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}}\end{cases} \\ $$ | ||
Commented byi jagooll last updated on 17/May/20 | ||
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{both} \\ $$ | ||
Commented byhknkrc46 last updated on 17/May/20 | ||
$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{xy}}\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{y}}\right) \\ $$ $$=\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\sqrt[{\mathrm{6}}]{\mathrm{xy}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\centerdot\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{xy}}\centerdot\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\sqrt[{\mathrm{6}}]{\mathrm{xy}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{125}}{\mathrm{8}}\sqrt{\mathrm{xy}}−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{xy}}=\frac{\mathrm{65}}{\mathrm{8}}\sqrt{\mathrm{xy}}=\mathrm{10} \\ $$ $$\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{xy}}=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{13}}\:\Rightarrow\:\mathrm{xy}=\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{xy}=\mathrm{x}\left(\mathrm{10}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{10x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{10}\pm\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{4}\centerdot\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{x}=\:\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{25}−\frac{\mathrm{256}}{\mathrm{169}}}=\mathrm{5}\pm\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{13}}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}>\mathrm{0}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}}\:,\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\:\Rightarrow\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\:,\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}}\:\Rightarrow\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\:\Rightarrow\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}} \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Answered by john santu last updated on 17/May/20 | ||
$$\mathrm{x},\mathrm{y}\:>\:\mathrm{0}\:\mathrm{in}\:\in\mathbb{R} \\ $$ $$\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{xy}}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{xy}}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{let}\:\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}}\:=\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\:\mathrm{t}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}+\mathrm{2}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\begin{cases}{\mathrm{t}\:=\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{t}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{64y}\:;\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\:=\:\mathrm{10}\: \\ $$ $$\mathrm{65y}\:=\:\mathrm{10}\:\begin{cases}{\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}}\\{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}}}\end{cases} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{t}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{y}\:=\:\mathrm{64x}\:;\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\:=\:\mathrm{10} \\ $$ $$\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}}\\{\mathrm{y}=\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{solution}\:\left\{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}},\:\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}}\right)\:;\:\left(\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{13}},\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\right)\right\}\:. \\ $$ | ||