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Question Number 94331 by mathmax by abdo last updated on 18/May/20

$$1)calculate\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{4n^2-1}with\mid x\mid <1$$ $$2)findthevalueof\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-1}and\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{4n^2-1}$$ $$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20

$$1)\mathrm{let}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{{4\mathrm{n}}^2-1}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{(2\mathrm{n}-1)(2\mathrm{n}+1)}$$ $$=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2\mathrm{n}-1}-\frac{1}{2\mathrm{n}+1}){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}-\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}$$ $$\mathrm{case}\left(1\right)0<\mathrm{x}<1\Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{2\mathrm{n}+1}}{2\mathrm{n}+1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\phi (\sqrt{\mathrm{x})}$$ $$\mathrm{with}\phi \left(\mathrm{t}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{t}}^{2\mathrm{n}+1}}{2\mathrm{n}+1}\mathrm{we}\mathrm{have}{\phi }^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{t}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{t}}^{2\mathrm{n}}=\frac{1}{1-{\mathrm{t}}^2}\Rightarrow$$ $$\phi \left(\mathrm{t}\right)=\int \frac{\mathrm{dt}}{1-{\mathrm{t}}^2}+\mathrm{c}=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1-\mathrm{t}}+\frac{1}{1+\mathrm{t}})\mathrm{dt}+\mathrm{c}=\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1+\mathrm{t}}{1-\mathrm{t}}\mid +\mathrm{c}$$ $$\phi \left(0\right)=0=\mathrm{c}\Rightarrow \phi \left(\mathrm{t}\right)=\frac{1}{2}\ln \mid \frac{1+\mathrm{t}}{1-\mathrm{t}}\mid \Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\ln \mid \frac{1+\sqrt{\mathrm{x}}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}\mid$$ $$\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}=-1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}{=}_{\mathrm{n}=\mathrm{p}+1}\sum _{\mathrm{p}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}+1}}{2\mathrm{p}+1}$$ $$=\mathrm{x}\times \frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\ln \mid \frac{1+\sqrt{\mathrm{x}}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}\mid =\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{2}\ln \mid \frac{1+\sqrt{\mathrm{x}}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}\mid \Rightarrow$$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{4}\ln \mid \frac{1+\sqrt{\mathrm{x}}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}\mid -\frac{1}{4\sqrt{\mathrm{x}}}\ln \mid \frac{1+\sqrt{\mathrm{x}}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}\mid$$ $$\mathrm{case}\left(2\right)\mathrm{if}-1<\mathrm{x}<0\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}{(-\mathrm{x})}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}$$ $$-\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}{(-\mathrm{x})}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}\mathrm{but}$$ $$$$ $$\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}{(-\mathrm{x})}^{\mathrm{n}}=\frac{1}{\sqrt{-\mathrm{x}}}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}{\left(\sqrt{-\mathrm{x}}\right)}^{2\mathrm{n}+1}}{2\mathrm{n}+1}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{-\mathrm{x}}}\mathrm{w}\left(\sqrt{-\mathrm{x}}\right)\mathrm{with}\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{t}}^{2\mathrm{n}+1}\Rightarrow$$ $${\mathrm{w}}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}^{2\mathrm{n}}=\frac{1}{1+{\mathrm{t}}^2}\Rightarrow \mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{arctant}+\mathrm{c}$$ $$\mathrm{w}\left(0\right)=0=\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\arctan \left(\mathrm{t}\right)\Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}+1}=\frac{1}{\sqrt{-\mathrm{x}}}\arctan \left(\sqrt{-\mathrm{x}}\right)$$ $$\mathrm{wf}\mathrm{follow}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{way}\mathrm{to}\mathrm{find}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}....$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20

$$2)\mathrm{let}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{1}{{4\mathrm{k}}^2-1}\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=-1+\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\frac{1}{(2\mathrm{k}-1)(2\mathrm{k}+1)}$$ $$=-1+\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}(\frac{1}{2\mathrm{k}-1}-\frac{1}{2\mathrm{k}+1})=-1+\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\frac{1}{2\mathrm{k}-1}-\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\frac{1}{2\mathrm{k}+1}$$ $$\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\frac{1}{2\mathrm{k}-1}=1+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{2\mathrm{n}-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2\mathrm{n}-1}+\frac{1}{2\mathrm{n}}$$ $$-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-...-\frac{1}{2\mathrm{n}}={\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}}-\frac{1}{2}{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}$$ $$\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\frac{1}{2\mathrm{k}+1}{=}_{\mathrm{k}=\mathrm{p}-1}\sum _{\mathrm{p}=2}^{\mathrm{n}+1}\frac{1}{2\mathrm{p}-1}={\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}+2}-\frac{1}{2}{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}+1}-1\Rightarrow$$ $${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=-1+\frac{1}{2}{\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}}-\frac{1}{4}{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}{\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}+2}+\frac{1}{4}{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}+1}+\frac{1}{2}$$ $$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}({\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}+2})+\frac{1}{4}({\mathrm{H}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}})\mathrm{but}$$ $${\lim }_{\mathrm{n}⌣+\mathrm{\infty }}{\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{H}}_{2\mathrm{n}+2}=0={\lim }_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{H}}_{\mathrm{n}}\Rightarrow$$ $${\lim }_{\mathrm{n}\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}$$

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