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Question Number 94333 by mathmax by abdo last updated on 18/May/20

developp at integr serie ∫_(−∞) ^x (dt/(t^4 +t^2 +1))

$${developp}\:{at}\:{integr}\:{serie}\:\int_{−\infty} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{4}} \:+{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/20

let ϕ(x) =∫_(−∞) ^x (dt/(t^4 +t^2 +1)) ⇒ϕ(x) =∫_(−∞) ^0 (dt/(t^4 +t^2 +1)) +∫_0 ^x (dt/(t^4 +t^2 +1)) ⇒ϕ^′ (x) =(1/(x^4 +x^2 +1)) poles of ϕ^′ ? x^4 +x^2 +1 =0 ⇒t^2 +t+1 =0 (x^2 =t) Δ =−3 ⇒t_1 =((−1+(√3))/2) =e^(i((2π)/3)) and t_2 =e^(−((i2π)/3)) ⇒ ϕ^′ (x) =(1/((x^2 −e^((i2π)/3) )(x^2 −e^(−((i2π)/3)) ))) =(1/((x−e^((iπ)/3) )(x+e^((iπ)/3) )(x−e^(−((iπ)/3)) )(x+e^(−((iπ)/3)) ))) =(a/(x−e^((iπ)/3) )) +(b/((x+e^((iπ)/3) ))) +(c/(x−e^(−((iπ)/3)) )) +(d/(x+e^(−((iπ)/3)) )) a =(1/(2e^((iπ)/3) (2i sin(((2π)/3))))) =(e^(−((iπ)/3)) /(4i ×((√3)/2))) =(e^(−((iπ)/3)) /(2i(√3))) b =(1/(−2e^((iπ)/3) (2isin(((2π)/3))))) =(e^(−((iπ)/3)) /(−4i×((√3)/2))) =−(e^(−((iπ)/3)) /(2i(√3))) c =(1/(2e^(−((iπ)/3)) (−2isin(((2π)/3))))) =−(e^((iπ)/3) /(4i×((√3)/2))) =−(e^((iπ)/3) /(2i(√3))) d =(1/(−2e^(−((iπ)/3)) (−2i sin(((2π)/3))))) =(e^((iπ)/3) /(2i(√3))) ⇒ ϕ^((n)) (x) =((a(−1)^(n−1) (n−1)!)/((x−e^((iπ)/3) )^n )) +((b(−1)^(n−1) (n−1)!)/((x+e^((iπ)/3) )^n )) +((c(−1)^(n−1) (n−1)!)/((x−e^(−((iπ)/3)) )^n )) +((d(−1)^(n−1) (n−1)!)/((x+e^(−((iπ)/3)) )^n )) ⇒ϕ^((n)) (0) = (−1)^(n−1) (n−1)! {a(−1)^n e^(−((inπ)/3)) +b e^(−((inπ)/3)) +c (−1)^n e^((inπ)/3) +d e^((inπ)/3) } ϕ(x) =Σ_(n=0) ^∞ ((ϕ^((n)) (0))/(n!)) x^n ....

$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{−\infty} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi^{'} ? \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{t}\right) \\ $$$$\Delta\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{x}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}\:×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{−\mathrm{4i}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(−\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=−\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:=−\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{d}\:=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(−\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{n}} }\:+\frac{\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{n}} }\:+\frac{\mathrm{c}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$+\frac{\mathrm{d}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow\varphi^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:= \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\:\left\{\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{c}\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{d}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \right\} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\varphi^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{n}!}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:.... \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 21/May/20

anther way we have ϕ^′ (x) =(1/((x^2 −e^((i2π)/3) )(x^2 −e^(−((i2π)/3)) ))) =(1/(2isin((π/3))))((1/(x^2 −e^((i2π)/3) )) −(1/(x^2 −e^(−((i2π)/3)) )) ) =(1/(i(√3))){ (1/(x^2 −e^((i2π)/3) ))−(1/(x^2 −e^(−((i2π)/3)) ))} =(1/(i(√3)))( (e^(−((i2π)/3)) /(e^(−((i2π)/3)) x^2 −1)) −(e^((i2π)/3) /(e^((i2π)/3) −1))) =(1/(i(√3)))(− (e^(−((i2π)/3)) /(1−(e^(−((iπ)/3)) x)^2 )) +(e^((i2π)/3) /(1−(e^((iπ)/3) x)^2 ))) for ∣x∣<1 we get ϕ^′ (x) =(e^((i2π)/3) /(i(√3))) Σ_(n=0) ^∞ (e^((iπ)/3) x)^n −(e^(−((i2π)/3)) /(i(√3))) Σ_(n=0) ^∞ (e^(−((iπ)/3)) x)^n ϕ(x) =(e^((i2π)/3) /(i(√3))) Σ_(n=0) ^∞ e^((inπ)/3) (x^(n+1) /(n+1)) −(e^(−((i2π)/3)) /(i(√3))) Σ_(n=0) ^∞ e^(−((inπ)/3)) (x^(n+1) /(n+1)) +C

$$\mathrm{anther}\:\mathrm{way}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }\:\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(−\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{1}−\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{1}−\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \:−\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$

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