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Question Number 9436 by geovane10math last updated on 08/Dec/16

If they said that Σ_(k=1) ^∞ k diverges, why 1 + 2 + 3 + 4 + ... = − (1/(12)) ?

$$\mathrm{If}\:\mathrm{they}\:\mathrm{said}\:\mathrm{that}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:{k}\:\mathrm{diverges},\:\mathrm{why} \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:\mathrm{4}\:+\:...\:=\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:? \\ $$

Answered by mrW last updated on 08/Dec/16

T=1−2+3−4+5−6+... T= 1−2+3−4+5−6+... T= 1−2+3−4+5−6+... T= 1−2+3−4+5−6+... 4T=1+0+0+0+0+0+...=1 T=(1/4) 1+2+3+4+5+6+...=S ...(i) 1−2+3−4+5−6+...=T ...(ii) (i)−(ii): 2×(2+4+6+8+10+...)=S−T 4×(1+2+3+4+5+...)=S−T 4S=S−T 3S=−T=−(1/4) S=−(1/(12))=1+2+3+4+5+...

$$\:\:\:\mathrm{T}=\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+... \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+... \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+... \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+...\:\: \\ $$$$\mathrm{4T}=\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+...=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+...=\mathrm{S}\:\:\:...\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+...=\mathrm{T}\:\:...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)−\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{2}×\left(\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+\mathrm{10}+...\right)=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{4}×\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+...\right)=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{4S}=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{3S}=−\mathrm{T}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{S}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+... \\ $$

Commented by geovane10math last updated on 09/Dec/16

Thanks

$$\mathrm{Thanks}\: \\ $$

Answered by mrW last updated on 09/Dec/16

other strange things: S=1+2+3+4+5+6+... (i) S= 1+2+3+4+5+... (ii) (i)+(ii): 2S=1+2+4+6+8+10+... 2S=1+2(1+2+3+4+5+...) 2S=1+2S 0=1

$$\mathrm{other}\:\mathrm{strange}\:\mathrm{things}: \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+...\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+...\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)+\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+\mathrm{10}+... \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+...\right) \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2S} \\ $$$$\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$

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