Question Number 94418 by niroj last updated on 18/May/20
$$\:\mathrm{1}.\mathrm{F}\boldsymbol{\mathrm{ind}}\:\boldsymbol{\mathrm{value}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\theta}\:\mathrm{in}\:\mathrm{Mean}\:\mathrm{Value}\:\mathrm{theorem} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{hf}^{\:'} \left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right),\:\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{2}.\mathrm{If}\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:\:\:=\:\mathrm{k}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}. \\ $$$$\:\mathrm{3}.\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation}: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{3x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right). \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 18/May/20
$$\mathrm{1}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\:\therefore\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{hf}^{'} \left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:−\frac{\mathrm{h}}{\left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\frac{−\mathrm{h}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)}=\frac{−\mathrm{h}}{\left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{hx} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\theta\mathrm{h}\right)=\pm\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{hx}}\: \\ $$$$\:\theta=\frac{\pm\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{hx}}−\mathrm{x}}{\mathrm{h}}\:\mathrm{ans} \\ $$$$ \\ $$
Commented by niroj last updated on 18/May/20
nice ����thank you.
Answered by som(math1967) last updated on 18/May/20
$$\mathrm{2}.\:\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\alpha\:\:\mathrm{y}=\mathrm{sin}\beta \\ $$$$\:\therefore\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\beta=\mathrm{k}\left(\mathrm{sin}\alpha−\mathrm{sin}\beta\right) \\ $$$$\mathrm{2cos}\frac{\alpha+\beta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{\alpha−\beta}{\mathrm{2}}=\mathrm{2ksin}\frac{\alpha−\beta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{\alpha+\beta}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\frac{\alpha−\beta}{\mathrm{2}}}{\mathrm{sin}\frac{\alpha−\beta}{\mathrm{2}}}=\mathrm{k} \\ $$$$\frac{\alpha−\beta}{\mathrm{2}}=\mathrm{cot}^{−\mathrm{1}} \mathrm{k} \\ $$$$\alpha−\beta=\mathrm{2cot}^{−\mathrm{1}} \mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{y}=\mathrm{2cot}^{−\mathrm{1}} \mathrm{k} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:−\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$ \\ $$
Commented by niroj last updated on 18/May/20
superb������ thank dear for your effort.
Answered by Mr.D.N. last updated on 18/May/20
![3. x^2 (d^2 y/dx^2 ) −3x(dy/dx)+3y = x^2 (2x−1) Second order linear differential eq^n with variable coefficient (d^2 y/dx^2 )− (3/x) (dy/dx)+(3/x^2 )y = 2x−1.....(i) P= −(3/x), Q= (3/x^2 ) and R= 2x−1 If P+Qx =0 then Part of CF u=x −(3/x)+(3/x^2 )x=0 for complete sol^n : y=uv y= vx.......(ii) We know the form : (d^2 v/dx^2 )+(P +(2/u).(du/dx))(dv/dx)= (R/u) (d^2 v/dx^2 )+( −(3/x)+(2/x).(dx/dx))(dv/dx)= ((2x−1)/x) (d^2 v/dx^2 ) −(1/x).(dv/dx)= ((2x−1)/x) Change to linear form, Put , (dv/dx)= t ⇒ (d^2 v/dx^2 )= (dt/dx) (dt/dx)− (1/x)t = ((2x−1)/x) Now, IF= e^(∫Pdx) = e^(−∫(1/x)dx) =e^(−log x) IF= e^(log x^(−1) ) = (1/x) t.(1/x) = ∫(1/x).((2x−1)/x)dx+C_1 (t/x)= ∫((2/x)−x^(−2) )dx+C_1 t.(1/x)= 2log x −(x^(−1) /((−1)))+C_1 t.(1/x)= 2log x +(1/x)+C_1 t= 2xlog x+1+C_1 x (dv/dx)= 2x log x +1+C_1 x ∫dv = 2∫x log x dx+∫dx +C_1 ∫xdx+C_2 v= 2[ log x.(x^2 /2)−∫(1/x).(x^2 /2)dx]+x+(x^2 /2)C_1 +C_2 v= 2.(x^2 /2)log x −2.(1/2)∫xdx+x+(x^2 /2)C_1 +C_2 v = x^2 log x−(x^2 /2)+x+(x^2 /2)C_1 +C_2 Now again Putting the value of v in equ^n (ii) y= vx y = x^3 log x−(x^3 /2)+x^2 +(x^3 /2)C_1 +C_2 x .](Q94438.png)
$$\:\:\:\mathrm{3}.\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{3x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{Second}\:\mathrm{order}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{coefficient} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }−\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{y}\:=\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}.....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{P}=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}},\:\mathrm{Q}=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{R}=\:\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{P}+\mathrm{Qx}\:=\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{Part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{CF}\:\mathrm{u}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{x}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{complete}\:\mathrm{sol}^{\mathrm{n}} :\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{uv} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{vx}.......\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{We}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form}\:: \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\left(\mathrm{P}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}}.\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\right)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{u}} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\left(\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dx}}\right)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{Change}\:\mathrm{to}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{form}, \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Put}\:,\:\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{v}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{t}\:=\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{Now},\:\:\mathrm{IF}=\:\mathrm{e}^{\int\mathrm{Pdx}} =\:\mathrm{e}^{−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{log}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{IF}=\:\mathrm{e}^{\mathrm{log}\:\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} } =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\:\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}=\:\int\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}−\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{t}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\:\mathrm{2log}\:\mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }{\left(−\mathrm{1}\right)}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\:\mathrm{2log}\:\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}=\:\mathrm{2xlog}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\:\mathrm{2x}\:\mathrm{log}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\int\mathrm{dv}\:=\:\mathrm{2}\int\mathrm{x}\:\mathrm{log}\:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}+\int\mathrm{dx}\:+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \int\mathrm{xdx}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{v}=\:\mathrm{2}\left[\:\mathrm{log}\:\mathrm{x}.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\right]+\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{v}=\:\mathrm{2}.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{log}\:\mathrm{x}\:−\mathrm{2}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{xdx}+\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{v}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{log}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{Now}\:\mathrm{again}\:\mathrm{Putting}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{v}\:\mathrm{in}\:\mathrm{equ}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{vx} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{log}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:.\: \\ $$
Commented by niroj last updated on 18/May/20
it's outstanding��������
Commented by peter frank last updated on 24/May/20
$$\mathrm{good} \\ $$