Question Number 94455 by mhmd last updated on 18/May/20
$${Solve}\:\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{1}\right){y}={xe}^{{x}} {sinx}\: \\ $$$${pleas}\:{help}\:{me}\:{sir}\: \\ $$
Commented by mhmd last updated on 19/May/20
$$?? \\ $$
Commented by john santu last updated on 19/May/20
$$\mathrm{homogenous}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\lambda=\mathrm{1},\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:=\:\mathrm{Ae}^{\mathrm{x}} \:+\:\mathrm{Bxe}^{\mathrm{x}} \\ $$
Commented by mhmd last updated on 19/May/20
$${sory}\:{sir}\:{i}\:{want}\:{special}\:{solution}\:{to}\:{the}\:{equation}\: \\ $$
Answered by Mr.D.N. last updated on 19/May/20
![(D^2 −2D+1)= xe^x sin x Auxilairy Eaquation we get, m^2 −2m+1=0, (m−1)^2 =0 m=1,1 Complemenatary Function (CF) = (C_1 +C_2 x)e^x Particular Integral (PI)= ((xe^x sin x)/(D^2 −2D+1)) = e^x (1/((D−1)^2 ))x sinx = e^x (1/((D+1−1)^2 )) x sin x = e^x ((x sin x)/D^2 )= e^x ∫(∫x sin x dx)dx x (−cos x)−∫1.(−cos x)dx −xcos x+sin x −∫x cos x+∫sin x −[ x cos x−∫sin xdx]−cos x −x cos x −cos x−cos x −xcos x−2cos x PI= −e^x (x cos x+ 2cos x) y= CF+PI y= (C_1 +C_2 x)e^x −e^(−x) (x cos x+2cos x).](Q94491.png)
$$\:\:\left(\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2D}+\mathrm{1}\right)=\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{Auxilairy}\:\mathrm{Eaquation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}, \\ $$$$\:\:\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2m}+\mathrm{1}=\mathrm{0},\:\:\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{m}=\mathrm{1},\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{Complemenatary}\:\mathrm{Function}\:\left(\mathrm{CF}\right)\:=\:\:\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{Particular}\:\mathrm{Integral}\:\left(\mathrm{PI}\right)=\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2D}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{D}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{x}\:\mathrm{sinx} \\ $$$$\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{D}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \int\left(\int\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}\:\left(−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)−\int\mathrm{1}.\left(−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:−\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:−\int\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\int\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:−\left[\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\int\mathrm{sin}\:\mathrm{xdx}\right]−\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:−\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:−\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{PI}=\:−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{CF}+\mathrm{PI} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\:\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right). \\ $$
Commented by mhmd last updated on 19/May/20
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$